Eliminacja Gaussa - uklad

[ogre]

\(\displaystyle{ 3x + y - z = 0

5x + 3y - 2z = -3

7x + 2y + 2z = 5}\)

Ulozylem juz macierz, ale nie mam pojecia jak porobic przeksztalcenia... Po prostu znam teorie ale w ogole mi to nie wychodzi ;|

[aalmond]

Tworzysz macierz rozszerzoną i przekształcasz.
Np. tak:
\(\displaystyle{ W_2 = 3W_2 - 5W_1 \\
W_3 = 3W_3 - 7W_1}\)
itd. aż do otrzymania macierzy schodkowej

[ogre]

Po tych przeksztalceniach ktore dales wyszlo mi:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1 \left| 0\\0&4&-1 \left| -9\\0&-1&1 \left|15 \end{bmatrix}}\)

Teraz musze tak zrobic, zeby \(\displaystyle{ a_{32}=0}\). Tak? Co potem mam zrobic, jak juz mam ta schodkowa? Bo rozumiem, ze jak do tego doprowadze to juz bede ja mial.

Widze, ze moge tez \(\displaystyle{ a_{11}}\) sprowadzic latwo do 1.

Prosze o dalsze wskazowki-- 1 grudnia 2011, 12:56 --Na tej macierzy ktora przedstawilem zrobilem jeszcze przeksztalcenia
\(\displaystyle{ W_{1}*\frac{1}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ W_{2}*\frac{1}{4}}\), co dalo mi:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&-1 |0 \\ 0&1&-\frac{1}{4} | -\frac{9}{4} \\ 0&-1&1 | 15 \end{bmatrix}}\)

Dobrze w ogole ide ? Co dalej?

[aalmond]

Teraz musze tak zrobic, zeby \(\displaystyle{ a_{32}=0}\). Tak?

Tak.

Co potem mam zrobic, jak juz mam ta schodkowa?

Jeżeli otrzymasz macierz trójkątną, to \(\displaystyle{ z}\) już będziesz miał wyliczone. Wstawiasz do drugiego równania i liczysz \(\displaystyle{ y}\), itd. Ewentualnie przekształcasz dalej do macierzy zredukowanej.

[ogre]

Nie wiem czy te moje przeksztalcenia sa dobre, bo i tak \(\displaystyle{ a_{32}}\) nie wyszlo mi 0.

Jeżeli otrzymasz macierz trójkątną, to już będziesz miał wyliczone. Wstawiasz do drugiego równania i liczysz , itd. Ewentualnie przekształcasz dalej do macierzy zredukowanej.

Nie wiem w jaki sposob i co wstawic potem do rownania. Pomoz prosze bo za godzinke kolos a nie bardzo umiem rozwiazac:-)

[aalmond]

Po tych przeksztalceniach ktore dales wyszlo mi:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1 \left| 0\\0&4&-1 \left| -9\\0&-1&1 \left|15 \end{bmatrix}}\)

Trzeci wiersz źle. Ma być:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1 \left| 0\\0&4&-1 \left| -9\\0&-1&13 \left|15 \end{bmatrix}}\)

Teraz:
\(\displaystyle{ W_3 = 4W_3 + W_2}\)
i dostajesz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1 \left| 0\\0&4&-1 \left| -9\\0&0&51 \left|51 \end{bmatrix}}\)
z tego:
\(\displaystyle{ z = 1 \\
y = -2 \\
x = 1}\)

[ogre]

W jaki sposob dostales rozwiazanie ? Nie mam pojecia

Podstawiles do to ukladu rownan i z ukladu:

\(\displaystyle{ 3x+y-z=0

4y-z=-9

51z=51z}\)

tak?

[aalmond]

Z tego układu idąc 'od dołu' łatwo wyliczysz zmienne. Możesz również dalej przekształcać macierz do postaci zredukowanej.

[ogre]

Wszystko super. Dzieki. Mam jeszcze rozszerzone troszke zadanie na bazie pierwszego.


Oblicz macierz odwrotną do macierzy układu z poprzedniego zadania i za jej pomocą
rozwiąż ten układ. Macierz odwrotną oblicz za pomocą eliminacji Gaussa zastosowanej
do równania AX = I.

Rzuc okiem jesli masz chwile jeszcze.

[aalmond]

Do wyjściowej macierzy dopisujesz macierz jednostkową 3x3 i przekształcasz tak, żeby macierz jednostkową tworzyły pierwsze 3 kolumny. Wtedy kolumny: 4, 5 i 6 utworzą macierz odwrotną. Przekształcenia robisz w podobny sposób, jak wyżej.

[ogre]

Powiedz jeszcze jak tak szybko wpadasz na te przeksztalcenia na wierszach?
Dokleilem macierz jednostkowa 3x3 do niej, ale znowu godzina myslenia jak to przeksztalcic...
Pomozesz?

[aalmond]

Początek jest taki sam. Zrób te same przekształcenia, co wyżej. Oczywiście dla macierzy 3x6.

[ogre]

Doszedlem do:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&1&0&0 \\ 0&4&-1&-5&3&0 \\ 0&0&51&-32&3&12 \end{bmatrix}}\)

Nastepnie przeksztalcilem W1 = W1 - W2 do:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&-3&0&6&-3&0 \\ 0&4&-1&-5&3&0 \\ 0&0&51&-32&3&12 \end{bmatrix}}\)

Zrobilem jeszcze W1 = W1 * 1/3 dzieki czemu mam:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-1&0&2&-1&0 \\ 0&4&-1&-5&3&0 \\ 0&0&51&-32&3&12 \end{bmatrix}}\)

Co dalej?

[aalmond]

Element \(\displaystyle{ a_{34} = -33}\). Sprawdź. Teraz trzeba wyzerować elementy: \(\displaystyle{ a_{12}}\), \(\displaystyle{ a_{13}}\), \(\displaystyle{ a_{23}}\)

[ogre]

Doszedlem do macierzy jednostkowej 3x3, ktora tworza 3 pierwsze kolumny.

Pytanie teraz, jak to podstawic. Czy 4 5 i 6 kolumna to odpowiednio wartosci x y z , a po znaku rownosci nalezy przepisac wartosci poczatkowe, odpowiednio 0, -3 oraz 5 ?

-- 1 grudnia 2011, 14:15 --

To dlatego mi takie z nieba obliczenia wyszly... Dobra, wracam.

-- 1 grudnia 2011, 14:17 --

Wyniki mialem dobre, bo w przyblizeniu zrobilem, ale co z nimi?-- 1 grudnia 2011, 14:21 --Konkretnie, wyszlo mi:

\(\displaystyle{ \frac{10}{17} -\frac{4}{17} \frac{1}{17}}\)


\(\displaystyle{ - \frac{24}{17} \frac{13}{17} \frac{1}{17}}\)


\(\displaystyle{ - \frac{11}{17} \frac{1}{17} \frac{4}{17}}\)