czy dany zbiór jest podprzestrzenią liniową?

[adamsstr]

Zbadać, czy dany zbiór jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\):
\(\displaystyle{ \left\{\left( x, \ y, \ z\right): \ x^{2}+y+z=0 \right\}}\)

Proszę o pomoc, znam definicję podprzestrzeni, ale nie wiem, jak dojść do końcowego wniosku, z góry dzięki

[miki999]

Masz warunki, które dana przestrzeń musi spełniać, aby być podprzestrzenią liniową danej przestrzeni.
Wypisz je i po kolei będziemy sprawdzać.

[adamsstr]

\(\displaystyle{ U \subset \mathbb{R}^{n}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\), gdy:
1) \(\displaystyle{ U \neq \emptyset}\)
2) \(\displaystyle{ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \ u \in U: \alpha \cdot u \in U}\)
3) \(\displaystyle{ \forall u,v \in U: u+v \in U}\)

[miki999]

Czy \(\displaystyle{ U=\emptyset}\)?

[adamsstr]

no nie, bo możemy chociażby wziąć wektor zerowy

[miki999]

1/3 zadania zrobiona.

Czy \(\displaystyle{ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \ u \in U: \alpha \cdot u \in U}\)?

[adamsstr]

hmmmm, wydaje mi się, że nie, bo możemy wziąć wektor \(\displaystyle{ \left( 4,-8,-8\right), \ \alpha =2}\), a wtedy warunek \(\displaystyle{ x^{2} +y+z=0}\) nie będzie spełniony, o ile dobrze liczę i rozumuję

[miki999]

Dobrze liczysz i dobrze rozumujesz

[adamsstr]

no i wszystko się rozjaśniło dziękuję!