Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ n \times n}\), to \(\displaystyle{ e^{A}}\) jest macierzą \(\displaystyle{ n \times n}\) postaci:
Teraz wiem, że \(\displaystyle{ A' = B + \frac{1}{2} B^{2} + ... + \frac{1}{(n-1)!}B^{n-1}}\) \(\displaystyle{ \forall_{k \ge n} B^{k} = 0}\) (bo \(\displaystyle{ A'}\) - macierz nilpotentna, czyli \(\displaystyle{ B}\) też musi być nilpotentna (?))
Czy moje rozumowanie jest poprawne? Jeśli tak to jak mogę wyliczyć z tego szeregu macierz \(\displaystyle{ B}\)?
1. Skąd wiemy, że \(\displaystyle{ A}\) możemy zapisać w postaci: \(\displaystyle{ V^{-1}DV}\)? (i \(\displaystyle{ D}\) - diagonalna)
2.
fon_nojman pisze:\(\displaystyle{ Ve^XV^{-1}=D}\)
\(\displaystyle{ e^{VXV^{-1}}=D}\)
Skąd wiemy, że możemy wykonać takie przejście? Znalazłem takie twierdzenie, że jeżeli\(\displaystyle{ Y}\) jest odwracalna to \(\displaystyle{ e^{YXY^{−1}} = Ye^{X}Y^{−1}}\), ale nie za bardzo wiem skąd to się bierze i jak to można szybko udowodnić.
3.
czyli wystarczy znaleźć macierz \(\displaystyle{ Y}\) taką, że \(\displaystyle{ e^Y=D,}\) myślę, że to będzie macierz diagonalna.
No faktycznie, tak intuicyjnie będzie to macierz diagonalna i raczej dość prosto będzie ją wyliczyć. Ale my chcemy wyliczyć \(\displaystyle{ X}\). Jak wyliczyć \(\displaystyle{ V}\), \(\displaystyle{ V^{-1}}\) i \(\displaystyle{ D}\)?
Rozkład \(\displaystyle{ VDV^{-1}}\) to jest rozkład diagonalny macierzy, znajduje się go wyliczając wartości i wektory własne. Co do 2. to widać dlaczego tak jest jeśli napiszesz sobie definicje eksponenty macierzy.
