Pokazać rząd macierzy

[adambak]

Niech \(\displaystyle{ A\in \mathbb{K}^{n,n}}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \text{rz}A \le 1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją wektory \(\displaystyle{ \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{K}^n}\) takie, że \(\displaystyle{ A=\vec{x}\vec{y}^T}\).

[Qń]

Wskazówka:
Jeśli takie wektory istnieją, to każda kolumna macierzy jest wielokrotnością wektora \(\displaystyle{ \vec{x}}\) (taką wielokrotnością ile wynosi stosowny element wektora \(\displaystyle{ \vec{y}^T}\)).

Odwrotnie: jeśli rząd jest równy zero, to nie ma o czym mówić, a jeśli rząd jest równy jeden, to istnieje kolumna niezerowa, a wszystkie pozostałe są jej wielokrotnością.

Q.