Jest przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ R}\)
a)
\(\displaystyle{ V = C \n W = \{z\in C: z = -j \overline{z}\}}\)
Najpierw dowodzę, że \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzeń...
\(\displaystyle{ W \subseteq V}\)
\(\displaystyle{ \forall z_1, z_2 \ \ z_1+z_2 = -j\overline{z_1+z_2} \in W}\)
\(\displaystyle{ \forall \alpha \in R, z \in W \ \ \alpha z = -j\overline{\alpha z} \in W}\)
Zatem \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ R}\)
Teraz chcę wyznaczyć bazę i zastanawiam się czy mogę zrobić to w ten sposób:
\(\displaystyle{ z = x + yj \ x,y \in R \\ x+yj = -jx - y \\ x + y = -j(x+y) \\ x + y = 0 \Leftrightarrow y = -x \\}\)
\(\displaystyle{ z = x -xj \Leftrightarrow z=(x, -x)}\)
i baza jako \(\displaystyle{ ((1,-1))}\)
b)
\(\displaystyle{ V = C \\ W = \{ z \in C : Re(z(2+j)) = 0\} \\ Re(2z + zj) = 0 \\ Re(2x-y+ (2y+x)j) = 0 \Leftrightarrow 2x-y= 0 \\ z = x+ 2xj \Leftrightarrow z=(x,2x)}\)
Potem zapisałem \(\displaystyle{ W = {(x,2x): x \in R}}\) i dowodzę, że:
\(\displaystyle{ \forall a,b\in R \forall w_1, w_2 \in W aw_1 + bw_2 \in W \\ aw_1 + bw_2 = (ax_1+bx_2, 2(ax_1+bx_2)) \in W}\)
i baza jako \(\displaystyle{ ((1,2))}\)