Macierz unitarna

[tkrass]

Wykazać, że \(\displaystyle{ (I+T+iS)(I-T-iS)^{-1}}\) jest macierzą unitarną jeżeli \(\displaystyle{ S}\) jest symetryczną macierzą rzeczywistą, a \(\displaystyle{ T}\) antysymetryczną macierzą rzeczywistą.

[pipol]

\(\displaystyle{ (I+T+iS)(I-T-iS)^{-1} (I+T^* -iS^* )(I-T^* +iS^* )^{-1} =I}\)

[tkrass]

Mógłbyś opisać trochę dokładniej co ten napis sobą reprezentuje i dlaczego jest prawdziwy?

[brzoskwinka1]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią Hilberta i niech \(\displaystyle{ A:X \rightarrow X}\) będzie operatorem liniowym ograniczonym. Operatorem sprzężonym nazywamy operator liniowy \(\displaystyle{ A^* :X \rightarrow X}\) spełniający dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in X}\) równość :
\(\displaystyle{ (Ax ,y)=(x,Ay)}\). Można udowodnić, że
\(\displaystyle{ (AB)^* =B^* A^*}\)
\(\displaystyle{ ( \alpha A )^* =\overline{ \alpha } A^*}\)
\(\displaystyle{ (A+B)^* =A^* +B^*}\)
Operator \(\displaystyle{ A}\) nazywamy , unitarnym jeżeli \(\displaystyle{ A^* A =AA^* =I}\). Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) jest operatorem zadanym przez rzeczywistą, symetryczną macierz, to \(\displaystyle{ A^* =A}\), jeżeli, zaś przez antysymetryczną, to \(\displaystyle{ A^* =-A.}\) To powinno wystarczyć aby rozwiązać to zadanie.
Pipol chyba coś nie tak z kolejnością składania odwzorowań.













;

[tkrass]

Mam taką uwagę, że jak wrzucam zadanie to raczej nie chodzi mi o wytłumaczenie teorii do niego (proponuję założyć, że ja ją znam) tylko o to, że jego rozwiązanie nie wynika bezpośrednio z tej teorii i proszę o pomoc w nim (tudzież umiem je zrobić i chcę się nim podzielić z szerszym gronem). Szczęśliwie udało mi się zrobić to zadanie samemu i jego rozwiązanie wynika z prostego, choć nieoczywistego faktu \(\displaystyle{ (I+T+iS)(I-T-iS)=(I-T-iS)(I+T+iS)}\).

Wasze posty miały w sobie coś z trollingu, gdyż przeciętny użytkownik widząc, że ktoś odpowiedział w temacie, ma uzasadnione prawo sądzić, że zadanie zostało rozwiązane i nie poświęcić mu uwagi. Nie mam pojęcia dlaczego postanowiliście strollować mój temat, ale to było bardzo niemiłe.