Rozwiąż rownanie macierzowe

[wioselko92]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&2\\4&1\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ X}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&5\\1&-2\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ ~=\left[\begin{array}{ccc}1&9\\2&3\end{array}\right]}\)
Rozw.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&2\\4&1\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ X}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&5\\1&-2\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ =\left[\begin{array}{ccc}1&9\\2&3\end{array}\right]~~~ \setminus ~\left[\begin{array}{ccc}5&2\\4&1\end{array}\right]^{-1}}\)
następnie
\(\displaystyle{ \setminus \left[\begin{array}{ccc}-2&5\\1&-2\end{array}\right]^{-1}}\)
ostatecznie
\(\displaystyle{ X=\frac{1}{-3}\left[\begin{array}{ccc}12&-4\\-2&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&9\\2&3\end{array}\right]\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{ccc}-2&-5\\-1&-2\end{array}\right]}\)

Czy mógł by mi ktoś wyjaśnić dlaczego mnozymy obustronnie przez macierz odwrotną i co się dzieje po wymnożeniu, czy trzeba szukać macierzy odwrotnej aby potem wymnożyć, dwie macierze ?

[johny_kalesony777]

Bo jeżeli masz \(\displaystyle{ A*X*C}\) to musisz pozbyć się A oraz C, a jak ? Przez mnożenie przez odwrotne macierze, z lewej \(\displaystyle{ A^{-1}}\), z prawej \(\displaystyle{ C^{-1}}\), dlaczego? Bo \(\displaystyle{ A^{-1}*A = I}\) , z kolei \(\displaystyle{ I*A = A}\), czyli skraca się, tak samo C.

Dlaczego się skraca? Bo I to macierz jednostkowa, z 1 na przekątnej a poza nią same 0. Jak wiadomo każda macierz pomnożona przez taką macierz I jest tą samą macierzą, jak wyżej napisałem \(\displaystyle{ I*A = A}\)

Co do Twojego przykładu:

\(\displaystyle{ A*X*B = C

X = A^{-1}*C*B^{-1}}\)

Wyliczasz odwrotność macierzy A, B, podkładasz i wymnażasz trzy macierze aby otrzymać wynik macierz X.