Macierz osobliwa, macierz trójkątna

[johny_kalesony777]

1) Jak sprawdzić, które macierze są osobliwe? Przeszukując internet doszedłem do tego, że należy obliczyć wyznacznik i sprawdzić czy jest równy 0. Jednak na zajęciach wyznaczników nie mieliśmy więc na pewno jest inna metoda przekształcając jakoś macierz do "czegoś".

2) Udowodnij, że iloczyn dwu macierzy wymiaru nxn trójkątnych z zerami poniżej przekątnej jest macierzą trójkątną z zerami poniżej przekątnej. Co do tego zadania to po przemnożeniu takich macierzy to widać, jednak nie mam pomysłu jak takie coś udowodnić.

[miki999]

1) Jak sprawdzić, które macierze są osobliwe? Przeszukując internet doszedłem do tego, że należy obliczyć wyznacznik i sprawdzić czy jest równy 0. Jednak na zajęciach wyznaczników nie mieliśmy więc na pewno jest inna metoda przekształcając jakoś macierz do "czegoś".

To co mieliście dotychczas? Liniową zależność wektorów może?

2) Udowodnij, że iloczyn dwu macierzy wymiaru nxn trójkątnych z zerami poniżej przekątnej jest macierzą trójkątną z zerami poniżej przekątnej. Co do tego zadania to po przemnożeniu takich macierzy to widać, jednak nie mam pomysłu jak takie coś udowodnić.

Weź 2 macierze:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&b_{13}&\dotsb&a_{1n}\\0&a_{22}&a_{23}&\dotsb & a_{2n}\\0 & 0 & a_{33} & \dotsb & a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\ &\ddots& \vdots\\0&0&\dotsb&\dotsb&a_{nn}\end{bmatrix}\\
B=\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}&\dotsb&b_{1n}\\0&b_{22}&b_{23}&\dotsb & b_{2n}\\0 & 0 & b_{33} & \dotsb & a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\ &\ddots& \vdots\\0&0&\dotsb&\dotsb&b_{nn}\end{bmatrix}}\)
I je wymnóż.

[adambak]

1) można za pomocą operacji elementarnych sprowadzić macierz do postaci trójkątnej (górnej lub dolnej).. wtedy sprawa wyznacznika staje się trywialna - jest on równy iloczynowi liczb na diagonali..

2) skorzystaj z \(\displaystyle{ \left( AB\right)_{i,j}= \sum_{s=1}^{n}a_{i,s}b_{s,j}}\)