szybki sposób na policzenie rzędu

[waskodagama]

Witam, rozwiązuję układ równań metodą macierzową i przyszło mi policzyć rząd takiej macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&3\\2&0&-3&1\\1&-1&-2&-2\end{array}\right]}\)

Żeby sprawdzić, czy rząd tej macierzy wynosi 3, musiałabym liczyć po kolei wyznaczniki macierzy 3x3 czy może istnieje jakaś szybsza metoda?

[miki999]

Możesz dodawać/odejmować krotności kolumn i wierszy. Sprowadzenie do postaci trójkątnej ("trójkątnopodobnej" ) pozwoli oszacować rząd.

[waskodagama]

Dodałam do trzeciego wiersza pierwszy i powstała macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&3\\2&0&-3&1\\2&0&-3&1\end{array}\right]}\)

Czy na tej podstawie mogę wysnuć wniosek, że rząd tej macierzy wynosi 2?

[miki999]

Tak.

[waskodagama]

Dziękuję bardzo!-- 26 lis 2011, o 17:43 --Jeszcze jedno pytanie, doszłam do takiego momentu przy wyznaczaniu rzędu pewnej macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\1&2&0&0\\1&1&0&0\end{array}\right]}\)

i nie za bardzo wiem, co z tego wynika. Mógłby ktoś pomóc?

[adner]

Masz dwie kolumny liniowo niezależne i dwie zerowe, więc rząd już możesz podać.

[waskodagama]

Mam taką macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&-1&2\\1&2&-1&0\\1&1&-1&1\end{array}\right]}\)

Dodałam kolumnę pierwszą do trzeciej i mam:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&2\\1&2&0&0\\1&1&0&1\end{array}\right]}\)

Mam problem z dalszymi operacjami. mogę dodać kolumnę czwartą do drugiej, a następnie odjąć od niej dwukrotność pierwszej kolumny? Rząd wtedy wyjdzie 1, co jest niemożliwe, bo rząd tej macierzy wg mnie to 2 lub 3... Może ktoś pomóc?

[miki999]

mogę dodać kolumnę czwartą do drugiej, a następnie odjąć od niej dwukrotność pierwszej kolumny?

Oczywiście, możesz.

Rząd nie wyjdzie \(\displaystyle{ 1}\). Otrzymasz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&2\\1&0&0&0\\1&0&0&1\end{array}\right]}\).
Zgodnie z definicją rząd to maksymalny wymiar niezerowego minora. No to wystarczy sprawdzić, że wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2\\1&0\end{array}\right]}\)
jest niezerowy (powstał on z 1. i 2. wiersza 1. i ostatniej kolumny).

Od razu podpowiem na przyszłość: zarówno kolumny jak i wiersze przy sprawdzaniu rzędu możesz zamieniać ze sobą kolejnością. A jak masz same zera, to możesz je wykreślić, czyli w tym przypadku:
\(\displaystyle{ r\left(\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&2\\1&0&0&0\\1&0&0&1\end{array}\right]\right)=r\left(\left[\begin{array}{cc}1&2\\1&0\\1&1\end{array}\right]\right)}\)

[waskodagama]

Ok, chyba już rozumiem o co w tym chodzi, dzięki