Czy dana struktura jest ciałem?

[smmileey]

Chcę sprawdzić, czy moje rozumowanie jest poprawne.
Mam sprawdzić, czy struktura \(\displaystyle{ (\left\{ -1,0,1 \right\} ,+, \cdot )}\) jest ciałem.
Oznaczę zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{-1,0,1 \right\}}\)

Mogę stwierdzić, że struktura \(\displaystyle{ (A,+)}\) jest grupą abelową, dla każdej liczby należącej do zbioru A, bo są spełnione warunki łączności oraz występowania elementu neutralnego i przeciwnego, do tego dodawanie jest przemienne.
Mogę stwierdzić, że struktura \(\displaystyle{ (A-\left\{0 \right\}, \cdot)}\) jest grupą, gdyż są spełnione warunki łączności oraz występowania elementu neutralnego i przeciwnego.
Mogę stwierdzić, że mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.
Zatem struktura \(\displaystyle{ (\left\{ -1,0,1 \right\} ,+, \cdot )}\) jest ciałem.
Dobrze rozumuję?

A gdybym miał np. zbadać, czy struktura \(\displaystyle{ (R, dz1, dz2)}\) jest pierścieniem, gdzie:
\(\displaystyle{ a(dz1)b= a+b-5}\),
\(\displaystyle{ a(dz2)b=a \cdot b+3}\),
to muszę sprawdzać po kolei wszystkie warunki porównując, czy lewa strona jest równa prawej w poszczególnych założeniach (np. założenie, że działanie jest łączne, dostałbym, że zgodnie z tym założeniem \(\displaystyle{ (a(dz1)b)(dz1)c = a(dz1)(b(dz1)c)}\) i musiałbym sprawdzić lewą i prawą stronę)?

[BettyBoo]

A takie głupie pytanie mam - ile to jest \(\displaystyle{ (-1)+(-1)}\)?

Pozdrawiam.

[Ein]

A nawet prościej: ile to jest \(\displaystyle{ 1+1}\)?

[smmileey]

Niekoniecznie rozumiem, w czym ma mi to pomóc, zapewne przeoczyłem coś ważnego. Proszę o wytłumaczenie, bo rozumiem, że nie mam racji.

[alfgordon]

sprawdzasz czy działanie jest wewnętrzne, jak widać nie jest bo: \(\displaystyle{ 1+1 =2}\)
a dwójka już nie należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\)

[smmileey]

Czyli oprócz tych warunków, które opisałem muszę jeszcze sprawdzić, czy wynik działania na elementach zbioru A należy również do tego zbioru, tak?
Podam przykład. Mam sprawdzić, czy struktura \(\displaystyle{ (A,+)}\) jest pierścieniem, jeżeli zbiór A jest postaci \(\displaystyle{ a\sqrt{2} +b \sqrt{3},a,b \in Q}\).
Wystarczy zauważyć, że np. wynik działania 3+5=8 nie należy do zbioru A, więc nie jest to pierścień?

EDIT:
Wiem już, że źle odczytałem zadanie. Ale biorąc teraz pod uwagę, że mam zbiór A danej postaci, to biorąc dowolne liczby a i b, otrzymam wyrażenie niewymierne. Dodawanie i mnożenie tych wyrażeń również da wynik niewymierny, czyli jest to pierścień. Tak? Czy powinienem to jakoś inaczej rozumieć?

[BettyBoo]

Nie chodzi o to, żeby wynik był wymierny czy niewymierny. Chodzi o to, żeby wynik działania był elementem tego zbioru. Aby to pokazać, trzeba wziąć dowolne da elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\) i pokazać, że ich suma jest elementem zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Pozdrawiam.