Udowodnij ze jest podprzestrzenia, podaj baze

[ogre]

1/ Udowodnij, ze zbior wielomianow rzeczywistych \(\displaystyle{ p(x)}\) stopnia niewiekszego niz 3 \(\displaystyle{ ( st}\) \(\displaystyle{ p(x) \le 3 )}\), takich ze
a) \(\displaystyle{ p(1)=p(0)+p(2)}\)
b) \(\displaystyle{ p(2)=p(0)+p(3)}\)
jest podprzestrzenia liniowa wszystkich wielomianow.
Podaj baze tej podprzestrzeni.

[bartek118]

Co to oznacza, że jest podprzestrzenią liniową? Jakie są aksjomaty?

[ogre]

Jest podprzestrzenią, to znaczy, że spełnia warunki dodawania wektorów oraz mnożenia przez skalar.
Tylko nie mam pojęcia jak to pokazać.


Doszedłem do tego (nie wiem czy dobrze i czy to ta czesc zadania z pokazainem bazy, prosze o korekte i zrobienie pierwszej czesci):
Mam wielomian postaci ogolnej:
\(\displaystyle{ p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\)

\(\displaystyle{ p(0)=d}\)
\(\displaystyle{ p(1)=a+b+c+d}\)
\(\displaystyle{ p(2)=8a+4b+2c+d}\)
\(\displaystyle{ p(3)=27a+9b+3c+d}\)

Zatem:

a) \(\displaystyle{ a+b+c+d = 8a+4b+2c+2d}\)
b) \(\displaystyle{ 8a+4b+2c+d = 27a+9b+3c+2d}\)