Baza podprzestrzeni rozpiętej na wielomianach

Amas19 · Post autor: **Amas19** » 21 lis 2011, o 22:28

Może mi ktoś wyjaśnić jak wyliczyć bazę podprzestrzeni rozpietej na wielomianach?
Przykład:
\(\displaystyle{ -1+x-2x^2, 3+73x+6x^2,
9}\)
O ile w przypadku układu wektorów bez problemu radzę sobie z wyznaczaniem bazy to z wielomianami nie mam pojęcia jak się do tego zabrać...

miki999 · Post autor: **miki999** » 21 lis 2011, o 22:56

To jakieś dziwne jest... bo przecież ten wielomian sam dla siebie jest bazą.

Amas19 · Post autor: **Amas19** » 21 lis 2011, o 23:03

miki999 pisze:To jakieś dziwne jest... bo przecież ten wielomian sam dla siebie jest bazą.

Jak to wywnioskowałeś?
Mam w sumie 3 przykłady w zadaniu. Pozostałe dwa to:
\(\displaystyle{ 3+73x+6x^2}\)
oraz
\(\displaystyle{ 9}\)

miki999 · Post autor: **miki999** » 21 lis 2011, o 23:06

A może to nie są przykłady, tylko 3 wielomiany tworzące podprzestrzeń?

Amas19 · Post autor: **Amas19** » 21 lis 2011, o 23:08

miki999 pisze:A może to nie są przykłady, tylko 3 wielomiany tworzące podprzestrzeń?

Faktycznie tak jest, mój błąd...

miki999 · Post autor: **miki999** » 21 lis 2011, o 23:15

I nadal nie wiesz, jak to rozwiązać? Czy już nastała światłość?

Amas19 · Post autor: **Amas19** » 21 lis 2011, o 23:17

No niestety nic mi nie świta.

miki999 · Post autor: **miki999** » 21 lis 2011, o 23:20

To może pomoże fakt, że taki wielomian \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) możemy utożsamić z wektorem \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} ax^2\\bx\\c\end{bmatrix}}\) (bądź przy odpowiedniej umowie z \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a\\b\\c\end{bmatrix}}\)).

Amas19 · Post autor: **Amas19** » 21 lis 2011, o 23:50

Czy wynik powinien wyjść taki?
\(\displaystyle{ v_1=[-2,1,-1]\\v_2=[6,73,3]\\v_3=[0,0,9]}\)
chyba coś pochrzaniłem...

miki999 · Post autor: **miki999** » 22 lis 2011, o 12:10

O ile te wektory rzeczywiście tworzą bazę.
No i to, że wielomiany można utożsamić z takimi wektorami, nie oznacza, że autor polecenia chce, aby w takiej postaci została podana baza.
Może najprostsza: \(\displaystyle{ \{1, x, x^2\}}\) lub jak wolisz: \(\displaystyle{ \{-1+x-2x^2, 3+73x+6x^2, 9\}}\), o ile te 3 wektory są liniowo niezależne. Bez znaczenia co wybierzesz.
Jeżeli są liniowo zależne, to baza będzie liczyć mniej niż 3 elementy.