Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś rzucił okiem na moje rozwiązanie tego zadania i zweryfikował czy poprawnie rozumuję jak powinno się wykonywać tego typu zadanka
Czy w \(\displaystyle{ Z_{5}^{3}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ W_{1}=W_{2}}\)?
\(\displaystyle{ W_{1}=L\left( \left[ 1,2,4\right], \left[ 4,3,2\right] \right), W_{2}=L\left( \left[ 1,0,2\right], \left[ 1,2,2\right], \left[ 3,1,3\right] \right)}\)
I teraz ja to rozumiem tak: mamy dwie przestrzenie i dwie bazy (\(\displaystyle{ \mathfrak{B}_{1}, \mathfrak{B}_{2}}\)). Jeżeli uda nam się przedstawić każdy wektor z \(\displaystyle{ \mathfrak{B}_{1}}\) jako kombinację liniową wektorów z \(\displaystyle{ \mathfrak{B}_{2}}\) i na odwrót, to udowodnimy że przestrzenie generowane przez te bazy są jednakowe.
Wpakowałem sobie te wszystkie wektory kolumnowo w macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&4&|&1&1&3\\2&3&|&0&2&1\\4&2&|&2&2&3\end{bmatrix}}\)
no i już pierwsze przekształcenie \(\displaystyle{ (\xrightarrow{r_{2}+3r_{1}, \ r_{3}+r_{1}})}\) ukazuje nam że nie wszystkie wektory z pierwszej bazy możemy przedstawić jako kombinację wektorów pierwszej bazy.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&4&|&1&1&3\\0&0&|&3&0&0\\0&1&|&3&3&1\end{bmatrix}}\)
Czyli \(\displaystyle{ W_{1} \neq W_{2}}\)
Poprawnie?
Równość przestrzeni w ciele liczb całkowitych modulo 5
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Równość przestrzeni w ciele liczb całkowitych modulo 5
Wszystko się zgadza z wyjątkiem dwóch rzeczy.
Po pierwsze, to nie muszą być bazy, tylko zbiory generatorów (nigdzie zresztą nie pokazałeś, że to są bazy).
Po drugie, pokazałeś, że nie wszystkie wektory z \(\displaystyle{ W_2}\) należą do \(\displaystyle{ W_1}\), ponieważ np. pierwszego generatora \(\displaystyle{ W_2}\) nie można przedstawić jako kombinacji liniowej generatorów przestrzeni \(\displaystyle{ W_1}\) (czyli odwrotnie niż piszesz wyżej) - i chyba przydałoby się dopisać mniej więcej coś takiego, żeby było jasne, skąd wynika Twój wniosek.
Pozdrawiam.
Po pierwsze, to nie muszą być bazy, tylko zbiory generatorów (nigdzie zresztą nie pokazałeś, że to są bazy).
Po drugie, pokazałeś, że nie wszystkie wektory z \(\displaystyle{ W_2}\) należą do \(\displaystyle{ W_1}\), ponieważ np. pierwszego generatora \(\displaystyle{ W_2}\) nie można przedstawić jako kombinacji liniowej generatorów przestrzeni \(\displaystyle{ W_1}\) (czyli odwrotnie niż piszesz wyżej) - i chyba przydałoby się dopisać mniej więcej coś takiego, żeby było jasne, skąd wynika Twój wniosek.
Pozdrawiam.
-
Browning0
- Użytkownik
- Posty: 333
- Rejestracja: 2 lis 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 82 razy
Równość przestrzeni w ciele liczb całkowitych modulo 5
@Up
Hmm, rzeczywiście to są generatory a nie koniecznie baza Dziękuję za uwagę!
Tfu, miałem na myśli właśnie że nie wszystkie wektory z \(\displaystyle{ W_{2}}\) da się przedstawić jako wektory z \(\displaystyle{ W_{1}}\). Po prostu co innego człowiek myśli, a co innego pisze...
Dziękuję i pozdrawiam!
Hmm, rzeczywiście to są generatory a nie koniecznie baza Dziękuję za uwagę!
Tfu, miałem na myśli właśnie że nie wszystkie wektory z \(\displaystyle{ W_{2}}\) da się przedstawić jako wektory z \(\displaystyle{ W_{1}}\). Po prostu co innego człowiek myśli, a co innego pisze...
Dziękuję i pozdrawiam!