Prosiłbym o sprawdzenie mojego toku rozumowania
Który z podanych zbiorów liczbowych z działaniami dodawania i mnożenia są ciałami:
a) Zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).
Nie jest, bo nie ma elementu odwrotnego w mnożeniu.
b) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{R}, x=a+b \sqrt{3}, \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Chyba jest, nie potrafię znaleźć argumentu że nie.
Przykłady ciał
-
- Użytkownik
- Posty: 333
- Rejestracja: 2 lis 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 82 razy
Przykłady ciał
@Up
Tak, już zauważyłem, poprawiłem nawet w głównym poście
Ale czy to wystarczy za potwierdzenie/zaprzeczenie?
Dorzucam następne
c) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{R}, x=a+b \sqrt[3]{3}, \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Nie, bo np. \(\displaystyle{ (1+\sqrt[3]{3}) \cdot (1+\sqrt[3]{3}) \not\in K}\)
d) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{R}, x=a+b \sqrt[3]{3}+ c \sqrt[3]{4}, \ a,b,c \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Nie, bo jak wyżej np. \(\displaystyle{ (1+\sqrt[3]{3}) \cdot (1+\sqrt[3]{3}) \not\in K}\)
e) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{C}, x=a+bi , \ a,b \in \mathbb{Z} \right\}}\)
Nie, bo nie istnieje element odwrotny w mnożeniu (np. dla liczby \(\displaystyle{ 1+i}\) elementem odwrotnym jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \not\in K}\))
f) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{C}, x=a+bi , \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Tu mi się wydaje że jest ciałem, o ile oczywiście przyjmiemy że \(\displaystyle{ i= \sqrt{-1}}\)
g) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{C}, x=a+(1+i)b , \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Tutaj również. Nie potrafię znaleźć jakiejś nieprawidłowości.
f) \(\displaystyle{ K= \left\{x \in \mathbb{C}: \left| x\right| \le 1 \right\}}\)
Nie, ponieważ nie istnieje element odwrotny w mnożeniu.
Tak, już zauważyłem, poprawiłem nawet w głównym poście
Ale czy to wystarczy za potwierdzenie/zaprzeczenie?
Dorzucam następne
c) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{R}, x=a+b \sqrt[3]{3}, \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Nie, bo np. \(\displaystyle{ (1+\sqrt[3]{3}) \cdot (1+\sqrt[3]{3}) \not\in K}\)
d) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{R}, x=a+b \sqrt[3]{3}+ c \sqrt[3]{4}, \ a,b,c \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Nie, bo jak wyżej np. \(\displaystyle{ (1+\sqrt[3]{3}) \cdot (1+\sqrt[3]{3}) \not\in K}\)
e) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{C}, x=a+bi , \ a,b \in \mathbb{Z} \right\}}\)
Nie, bo nie istnieje element odwrotny w mnożeniu (np. dla liczby \(\displaystyle{ 1+i}\) elementem odwrotnym jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \not\in K}\))
f) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{C}, x=a+bi , \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Tu mi się wydaje że jest ciałem, o ile oczywiście przyjmiemy że \(\displaystyle{ i= \sqrt{-1}}\)
g) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{C}, x=a+(1+i)b , \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Tutaj również. Nie potrafię znaleźć jakiejś nieprawidłowości.
f) \(\displaystyle{ K= \left\{x \in \mathbb{C}: \left| x\right| \le 1 \right\}}\)
Nie, ponieważ nie istnieje element odwrotny w mnożeniu.