Przykłady ciał

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Browning0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 333
Rejestracja: 2 lis 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy

Przykłady ciał

Post autor: Browning0 »

Prosiłbym o sprawdzenie mojego toku rozumowania

Który z podanych zbiorów liczbowych z działaniami dodawania i mnożenia są ciałami:
a) Zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).
Nie jest, bo nie ma elementu odwrotnego w mnożeniu.

b) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{R}, x=a+b \sqrt{3}, \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Chyba jest, nie potrafię znaleźć argumentu że nie.
Ostatnio zmieniony 20 lis 2011, o 17:03 przez Browning0, łącznie zmieniany 1 raz.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Przykłady ciał

Post autor: »

\(\displaystyle{ 2=2+0\cdot\sqrt{3}\in X}\)

Q.
Browning0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 333
Rejestracja: 2 lis 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy

Przykłady ciał

Post autor: Browning0 »

@Up
Tak, już zauważyłem, poprawiłem nawet w głównym poście
Ale czy to wystarczy za potwierdzenie/zaprzeczenie?

Dorzucam następne

c) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{R}, x=a+b \sqrt[3]{3}, \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Nie, bo np. \(\displaystyle{ (1+\sqrt[3]{3}) \cdot (1+\sqrt[3]{3}) \not\in K}\)

d) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{R}, x=a+b \sqrt[3]{3}+ c \sqrt[3]{4}, \ a,b,c \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Nie, bo jak wyżej np. \(\displaystyle{ (1+\sqrt[3]{3}) \cdot (1+\sqrt[3]{3}) \not\in K}\)

e) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{C}, x=a+bi , \ a,b \in \mathbb{Z} \right\}}\)
Nie, bo nie istnieje element odwrotny w mnożeniu (np. dla liczby \(\displaystyle{ 1+i}\) elementem odwrotnym jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i \not\in K}\))

f) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{C}, x=a+bi , \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Tu mi się wydaje że jest ciałem, o ile oczywiście przyjmiemy że \(\displaystyle{ i= \sqrt{-1}}\)

g) \(\displaystyle{ K=\left\{ x \in \mathbb{C}, x=a+(1+i)b , \ a,b \in \mathbb{Q} \right\}}\)
Tutaj również. Nie potrafię znaleźć jakiejś nieprawidłowości.

f) \(\displaystyle{ K= \left\{x \in \mathbb{C}: \left| x\right| \le 1 \right\}}\)
Nie, ponieważ nie istnieje element odwrotny w mnożeniu.
ODPOWIEDZ