Macierze odwrotne - z macierzy 3 i 4 stopnia

[sandra-91]

Witam! Bardzo, bardzo proszę o sprawdzenie, czy wszystko jest dobrze. Bardzo mi na tym zależy, bo chcę mieć pewność, że rozumiem te rzeczy. Napisanie tego tutaj na forum zajęło mi bardzo dużo czasu, więc mam nadzieję, że ktoś chętny sprawdzi. Polecenie jest takie, żeby obliczyć nad podanym ciałem, te macierze odwr.

Intryguje mnie to \(\displaystyle{ R}\) (z tego chyba to liczba/y rzeczywista/e) i \(\displaystyle{ F_{7}}\). Nie wiem, czy mają jakieś znaczenie. A w poleceniu pisze: "obliczyć nad podanym ciałem...". No skoro bez tego jednak podam swoje rozwiązania:

Zad.1

\(\displaystyle{ R:\left[\begin{array}{ccc}3&3&2\\1&3&3\\3&1&2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left| A\right| = \left| \begin{array}{ccc}3&3&2\\1&3&3\\3&1&2\end{array}\right|}\) \(\displaystyle{ = 18+2+27-18-9-6=14}\)

\(\displaystyle{ D_{11}=(-1)^{1+1} \cdot\left| \begin{array}{ccc}3&3\\1&2\end{array}\right|=3}\), \(\displaystyle{ D_{12}=(-1)^{1+2} \cdot\left| \begin{array}{ccc}1&3\\3&2\end{array}\right|=7}\), \(\displaystyle{ D_{13}=(-1)^{1+3} \cdot\left| \begin{array}{ccc}1&3\\3&1\end{array}\right|=-8}\),

\(\displaystyle{ D_{21}=(-1)^{2+1} \cdot\left| \begin{array}{ccc}3&2\\1&2\end{array}\right|=-4}\), \(\displaystyle{ D_{22}=(-1)^{2+2} \cdot\left| \begin{array}{ccc}3&2\\3&2\end{array}\right|=0}\), \(\displaystyle{ D_{23}=(-1)^{2+3} \cdot\left| \begin{array}{ccc}3&3\\3&1\end{array}\right|=6}\),

\(\displaystyle{ D_{31}=(-1)^{3+1} \cdot\left| \begin{array}{ccc}3&2\\3&3\end{array}\right|=3}\), \(\displaystyle{ D_{32}=(-1)^{3+2} \cdot\left| \begin{array}{ccc}3&2\\1&3\end{array}\right|=-7}\), \(\displaystyle{ D_{33}=(-1)^{3+3} \cdot\left| \begin{array}{ccc}3&3\\1&3\end{array}\right|=6}\)

\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{14} \left[\begin{array}{ccc}3&7&-8\\-4&0&6\\3&-7&6\end{array}\right]^{T}= \frac{1}{14} \left[\begin{array}{ccc}3&-4&-3\\7&0&-7\\-8&6&6\end{array}\right]}\)

Zastanawiam się, czy to nie jest macierz nieodwracalna? Bo spróbowałam dla sprawdzenia i mi nie wychodziło, więc może zatem to macierz nieodwracalna, albo mam jakieś błędy, tylko nie widzę. Skoro to macierz nieodwracalna, czyli to jest wystarczająca odpowiedź?
------------------------------------------------------------------------
Zad. 2

(tu jest więcej, bo macierz odwrotna z macierzy 4 stopnia, więc nie wiem, jak tu zacząć, ale napiszę swoje rozwiązania):

\(\displaystyle{ F_{7}:\left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\3&2&1&3\\2&0&1&0\\3&3&1&1\end{array}\right]}\), więc myślę, żeby byłoby jakoś zrobić, żeby była macierz 3 stopnia, więc:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-5&2&3&4\\1&2&1&3\\0&0&1&0\\1&3&1&1\end{array}\right] = 1 \cdot (-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ccc}-5&2&4\\1&2&3\\1&3&1\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ 1 \cdot (-1)^{3+3} = 1}\), więc pozbywamy, będzie \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-5&2&4\\1&2&3\\1&3&1\end{array}\right|}\)
To w takim razie, robimy, tak jak zrobiłam w zadaniu 1.:
\(\displaystyle{ F_{7}:\left|\begin{array}{ccc}-5&2&4\\1&2&3\\1&3&1\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| A\right| = \left| \begin{array}{ccc}-5&2&4\\1&2&3\\1&3&1\end{array}\right|}\) \(\displaystyle{ = -10+12+6-8+45-2=43}\)

\(\displaystyle{ D_{11}=(-1)^{1+1} \cdot\left| \begin{array}{ccc}2&3\\3&1\end{array}\right|=-7}\), \(\displaystyle{ D_{12}=(-1)^{1+2} \cdot\left| \begin{array}{ccc}1&3\\1&1\end{array}\right|=2}\), \(\displaystyle{ D_{13}=(-1)^{1+3} \cdot\left| \begin{array}{ccc}1&2\\1&3\end{array}\right|=1}\),

\(\displaystyle{ D_{21}=(-1)^{2+1} \cdot\left| \begin{array}{ccc}2&4\\3&1\end{array}\right|=10}\), \(\displaystyle{ D_{22}=(-1)^{2+2} \cdot\left| \begin{array}{ccc}-5&4\\1&1\end{array}\right|=-9}\), \(\displaystyle{ D_{23}=(-1)^{2+3} \cdot\left| \begin{array}{ccc}-5&2\\1&3\end{array}\right|=17}\),

\(\displaystyle{ D_{31}=(-1)^{3+1} \cdot\left| \begin{array}{ccc}2&4\\2&3\end{array}\right|=-2}\), \(\displaystyle{ D_{32}=(-1)^{3+2} \cdot\left| \begin{array}{ccc}-5&4\\1&3\end{array}\right|=19}\), \(\displaystyle{ D_{33}=(-1)^{3+3} \cdot\left| \begin{array}{ccc}-5&2\\1&2\end{array}\right|=-12}\)

\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{43} \left[\begin{array}{ccc}-7&2&1\\10&-9&17\\-2&19&-12\end{array}\right]^{T}= \frac{1}{43} \left[\begin{array}{ccc}-7&10&-2\\2&-9&19\\1&17&-12\end{array}\right]}\)

Czyli to jest wystarczająca odpowiedź? Czyli nie da się dalej zrobić, czy po prostu nie ma takiej potrzeby, skoro jest polecenie, żeby obliczyć macierze odwrotne.

Sama nie wiem, czy dobrze jest zrobione zad. 2? Czy można tak, żeby była macierz 3 stopnia. Wiem, że tego dużo, ale przynajmniej wygodnie do sprawdzenia

[mostostalek]

\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{14} \left[\begin{array}{ccc}3&-4&\ \fbox{3}\\7&0&-7\\-8&6&6\end{array}\right]}\)

jeden mały minus, a tyle psuje -- 20 listopada 2011, 08:33 --Co do nr2 macierz odwrotna do macierzy 4x4 jest macierzą 4x4 a nie 3x3..
Zapoznaj się z metodą Gaussa obliczania macierzy odwrotnej. Jest dużo skuteczniejsza i tysiące razy szybsza dla dużych macierzy.

206408.htm

[sandra-91]

\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{14} \left[\begin{array}{ccc}3&-4&\ \fbox{3}\\7&0&-7\\-8&6&6\end{array}\right]}\)

No fakt. Właśnie sprawdziłam dla sprawdzenia, czy wyszło, owszem wyszło. Dzięki. Czyli to co napisałam, jest dobrze? Bo pierwszy raz to robię i nie jestem pewna, czy dobrze Jeszcze raz zapytam, czy to wystarczająca odpowiedź.

Co do nr2 macierz odwrotna do macierzy 4x4 jest macierzą 4x4 a nie 3x3..
Zapoznaj się z metodą Gaussa obliczania macierzy odwrotnej. Jest dużo skuteczniejsza i tysiące razy szybsza dla dużych macierzy.

A jeśli chodzi o drugą macierz, to jeszcze nie nauczyłam się metody Gaussa, zaraz wezmę za to i napiszę tu na forum.

Właśnie przed chwilą spojrzałam na kartki, był podobny przykład, jak ten, też pan zrobił z macierzy 4x4 na macierz 3x3 i potem na 2x2, i tu kropka, bo nie dokończyliśmy to. Więc nie wiem... skoro zrobiłam tak w zadaniu 2, to jest dobrze, czyli można zrobić, żeby była macierz 3x3 i dalej kontynuować rozwiązania? Nieważne, czy jest dużo liczenia czy nie. Metodę Gaussa zaraz się nauczę.

Wznawiam ponownie pytanie:

Intryguje mnie to \(\displaystyle{ R}\) (z tego chyba to liczba/y rzeczywista/e) i \(\displaystyle{ F_{7}}\). Nie wiem, czy mają jakieś znaczenie. A w poleceniu pisze: "obliczyć nad podanym ciałem...".

[mostostalek]

Nie wiem jak definiowaliście ciało \(\displaystyle{ \mathbb{F}_7}\), ale na pewno ma znaczenie. Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) - w ten sposób zwyczajowo oznacza się ciało liczb rzeczywistych.

Właśnie przed chwilą spojrzałam na kartki, był podobny przykład, jak ten, też pan zrobił z macierzy 4x4 na macierz 3x3 i potem na 2x2, i tu kropka, bo nie dokończyliśmy to. Więc nie wiem... skoro zrobiłam tak w zadaniu 2, to jest dobrze, czyli można zrobić, żeby była macierz 3x3 i dalej kontynuować rozwiązania?

A czy przypadkiem prowadzący nie liczył wyznacznika?

[sandra-91]

Nie wiem jak definiowaliście ciało \(\displaystyle{ \mathbb{F}_7}\), ale na pewno ma znaczenie. Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) - w ten sposób zwyczajowo oznacza się ciało liczb rzeczywistych.

Nie mam pojęcia, ale mam jeszcze coś napisane, że\(\displaystyle{ F_{p}}\) to ciało skończone proste. Mam jeszcze napisane przykłady, że jest użyte \(\displaystyle{ F_{7}}\) czy \(\displaystyle{ F_{5}}\) to nic z tym nie robimy. Więc nie wiem... ale martwi mnie to, bo chciałabym dobrze w ogóle napisać.

A czy przypadkiem prowadzący nie liczył wyznacznika?

Tak liczył wyznacznika, z \(\displaystyle{ 4x4}\) na \(\displaystyle{ 3x3}\), następnie na \(\displaystyle{ 2x2}\). Też tak zrobiłam z \(\displaystyle{ 4x4}\) na\(\displaystyle{ 3x3}\). Więc mam pytanie, czy też tak można.

Dalej jeszcze myślę i ćwiczę metodę Gaussa, bo tak średnio rozumiem . Jak zrozumiem już, to napiszę tu swoje rozwiązanie tą metodą. Chciałabym wiedzieć, że tez można sposobem, które napisałam w zad. 2.

[mostostalek]

można.. oczywiście, że można

ciało skończone.. przychodzi mi na myśl ciało o skończonej liczbie elementów. Liczba elementów w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{F}_p}\) wynosi \(\displaystyle{ p}\) natomiast działania określone są modulo p.. wtedy można policzyć macierz odwrotną normalnie w R i później zamienić wartości w poszczególnych wierszach i kolumnach macierzy modulo p..-- 20 listopada 2011, 15:47 --aa.. wartości elementów modulo p to tak naprawdę reszta z dzielenia liczby rzeczywistej przez p..
Trzeba pamiętać, że dzielenie zastępuję się poprzez mnożenie przez element przeciwny..

czyli np w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_5}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=1 \cdot 2^{-1}=1 \cdot 3=3}\)

[sandra-91]

aa.. wartości elementów modulo p to tak naprawdę reszta z dzielenia liczby rzeczywistej przez p.. Trzeba pamiętać, że dzielenie zastępuję się poprzez mnożenie przez element przeciwny..

czyli np w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_5}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=1 \cdot 2^{-1}=1 \cdot 3=3}\)

Dziękuje za wytłumaczenie. No cóż niewiele zrozumiałam, może mógłbyś mi pokazać, jak to zrobić w zadaniu 2, bo mamy \(\displaystyle{ \mathbb{F}_7}\). Pokazanie tego na pewno pozwoli mi zrozumieć. Będę ogromnie wdzięczna.
------------------
Noo uff, namęczyłam się, żeby zrozumieć metodę Gaussa. Robiłam wiele przykładów, a tutaj utknęłam, bo:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&3\\2&0&1&0\\3&3&1&1\end{bmatrix}\ \mathop{\longrightarrow}^{w_1 - 3w_2}\ \begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&-4&-8&-9\\0&-4&-5&-8\\0&-3&-8&-11\end{bmatrix}}\)

Nie mam pomysłu, jak wygenerować zero w \(\displaystyle{ 3x2}\) i \(\displaystyle{ 4x2}\). Z \(\displaystyle{ -4}\) możemy sobie poradzić, ale co z \(\displaystyle{ -3}\). Myślałam o zamianie, ale nic mi nie wychodzi. To jak?

[mostostalek]

skończ macierz odwrotną to przekonwertujemy ją z \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_7}\)

Wskazówka: Podziel drugi wiersz przez 4

[sandra-91]

skończ macierz odwrotną to przekonwertujemy ją z \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{F}_7}\)

Wskazówka: Podziel drugi wiersz przez 4

O to chodziło?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&-4&-8&-9\\0&-4&-5&-8\\0&-3&-8&-11\end{bmatrix}\mathop{\longrightarrow}^{ \frac{w_{2}}{4} }\ \begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&-1&-2&- \frac{9}{4} \\0&-4&-5&-8\\0&-3&-8&-11\end{bmatrix}}\)

A no tak, to zaraz napiszę dalsze działanie. Tylko proszę tu zajrzeć

[mostostalek]

dokładnie o to jeśli gdzieś staniesz to napisz jaki masz problem, a ja spróbuję Cię naprowadzić co robić dalej. Później pokombinujemy ze zmianą \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{F}_7}\)

[sandra-91]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&-1&-2&- \frac{9}{4} \\0&-4&-5&-8\\0&-3&-8&-11\end{bmatrix}\mathop{\longrightarrow}^{w_{3}-4w_{2}, w_{4}-3w_{2} }\ \begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&-1&-2&- \frac{9}{4} \\0&0&3&1\\0&0&-2&- \frac{17}{4} \end{bmatrix}}\)

Znów utknęłam, ale widzę, że już blisko. Jeszcze jedno miejsce do wygenerowania. Myślałam nawet o \(\displaystyle{ w_{4}-w_{2}}\), wyliczyłam, ale niestety nie można, bo wyskakuje \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ 4x2}\)

Prosiłabym o wskazówkę.

[mostostalek]

\(\displaystyle{ w_1+2w_2}\)

[sandra-91]

\(\displaystyle{ w_1+2w_2}\)

Mi wyszło tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&-1&-2&- \frac{9}{4} \\0&0&3&1\\0&0&-2&- \frac{17}{4} \end{bmatrix} \mathop{\longrightarrow}^{w_{1}+2w_{2}}\begin{bmatrix}1&2&3&4\\1&0&-1&- \frac{1}{2} \\0&0&3&1\\0&0&-2&- \frac{17}{4} \end{bmatrix}}\)

Nie wiem, czy dobrze, bo jest \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ 2x1}\), a powinno być \(\displaystyle{ 0}\).

[mostostalek]

w drugą stronę \(\displaystyle{ w_1=w_1+2w_2}\)

[sandra-91]

Poprawiłam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&-1&-2&- \frac{9}{4} \\0&0&3&1\\0&0&-2&- \frac{17}{4} \end{bmatrix} \mathop{\longrightarrow}^{w_{1}+2w_{2}}\begin{bmatrix}1&0&-1&- \frac{1}{2}\\0&-1&-2&- \frac{9}{4} \\0&0&3&1\\0&0&-2&- \frac{17}{4} \end{bmatrix}\mathop{\longrightarrow}^{ \frac{w_3}{3} } \begin{bmatrix}1&0&-1&- \frac{1}{2}\\0&-1&-2&- \frac{9}{4} \\0&0&1& \frac{1}{3} \\0&0&-2&- \frac{17}{4} \end{bmatrix} \mathop{\longrightarrow}^{w_{4}+2w_{3}} \begin{bmatrix}1&0&-1&- \frac{1}{2}\\0&-1&-2&- \frac{9}{4} \\0&0&1& \frac{1}{3} \\0&0&0&- \frac{43}{12} \end{bmatrix}}\)

Czyli już koniec rozwiązania, i co dalej?