Jądro i obraz ich bazy odwzorowania liniowego???

[qba_b87]

Mam problem z takim zadaniem:
1Wyznaczyć jądro, obraz, ich bazy odwzorowania liniowego
\(\displaystyle{ L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, \ L_p(x)=\left( x^2+x\right)p(2)+\left( 3x^2-x\right)p(1)}\)

[koloninek]

Jądro

Rozpisujemy wielomian \(\displaystyle{ Lp(x)=(x^2+x)p(2)+(3x^2-x)p(1)}\)
Dowolny wielomian Lp(x) ma postać \(\displaystyle{ Lp(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), zatem mamy

\(\displaystyle{ (x^2+x)(8a+4b+2c+d)+(3x^2-x)(a+b+c+d)}\),
dalej wyciągamy x przed nawias i przyrównujemy do 0
\(\displaystyle{ x^2(11a+7b+5c+4d)+x(7a+3b+c)=0}\)
zatem mamy układ równań

\(\displaystyle{ 11a+7b+5c+4d=0}\)
\(\displaystyle{ 7a+3b+c =0}\)
Z tego mamy

\(\displaystyle{ c=-7a-3b}\)
\(\displaystyle{ d=6a+2b}\)
\(\displaystyle{ a,b parametr}\), należy do R
Podstawiamy a i b do wielomianu i otrzymujemy

\(\displaystyle{ ax^3+bx^2-(7a+3b)x+6a+2b}\), zatem
\(\displaystyle{ Kerf={(x^3-7x+6),(x^2+3-3x+2)}}\)
\(\displaystyle{ dim Kerf=2}\)

Obraz
Wyciągamy przed nawias stałe a,b,c,d
\(\displaystyle{ a(11x^2+7x)+b(7x^2+3x)+c(5x^2+x)+d(4x^2)}\)

\(\displaystyle{ dim Imf =3-2=1}\)
Zatem dowolne 4 wektory są l. zależne, zatem

\(\displaystyle{ Imf={(11x^2+7x)}}\)

[loczus91]

nie rozumiem twojego toku myslenia przy liczeniu obrazu mogłbyś po kolei wyjaśnić skad co się bierze?