Pierwiastki charakterystyczne i określoność macierzy.

[damianstelma1]

Mamy zadanko o nast. treści:

"Znajdź pierwiastki charakerystyczne macierzy \(\displaystyle{ A}\) stopnia \(\displaystyle{ 3}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ \mbox{tr}(A) = 0, \det(A) = 12}\) i jeden z pierwiastków jest trzy razy większy niż inny z nich. Jak określona jest macierz \(\displaystyle{ B = 2A + 2I}\)? Jakie są pierwiastki charakterystyczne macierzy \(\displaystyle{ B ^{3}}\) ?

1.
Korzystając z własności, że
\(\displaystyle{ \mbox{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}
\newline
\det(A) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}}\)

oraz
\(\displaystyle{ \lambda_{1} = 3\lambda_{2}}\)

Ułożyłem układ równań. Rozwiązaniem są pierwiastki charakterystyczne: \(\displaystyle{ -3, -1}\) i \(\displaystyle{ 4}\).

I w tym momencie się zaciąłem. Jak dalej ruszyć? Jak mam sprawdzić określoność macierzy \(\displaystyle{ B}\) skoro nie znam jej elementów? Kryterium Sylvestera odpada chyba. Zbadać znak pierwiastków też nie mogę bo nie potrafię ich wyliczyć. Wyznaczyłem tylko \(\displaystyle{ \mbox{tr}(B) = 6}\) ale to chyba nie ma tutaj znaczenia.

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[norwimaj]

Macierz \(\displaystyle{ A}\) jest podobna do macierzy diagonalnej, na której przekątnej są liczby \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3}\). Podobieństwo macierzy zachowuje jej określoność.

[damianstelma1]

Z Sylvestera wynika, że ta macierz diagonalna nie jest określona więc macierz \(\displaystyle{ A}\) również jest nieokreślona. Dobrze rozumiem, że trzeba teraz poszukać macierzy podobnej do \(\displaystyle{ B}\) ?

Czy wystarczy tylko tę macierz diagonalną pomnożyć przez 2 i dodać do niej \(\displaystyle{ 2I}\) ?

\(\displaystyle{ 2\left[\begin{array}{ccc} -3&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&4 \end{array}\right] + 2I = \left[\begin{array}{ccc} -4&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&10 \end{array}\right]}\)

Jeśli to jest w porządku to rozumiem, że pierwiastki charakterystyczne macierzy podobnej do \(\displaystyle{ B}\) są identyczne jak macierzy \(\displaystyle{ B}\).

czyli ostatecznie będzie że macierz \(\displaystyle{ B}\) jest określona niedodatnio.
Wartości własne \(\displaystyle{ B}\) : \(\displaystyle{ -4, 0, 10}\)
Wartości własne \(\displaystyle{ B ^{3}}\) : \(\displaystyle{ -64, 0, 1000}\)

proszę napisać czy wszystko jest ok.

[norwimaj]

Czy wystarczy tylko tę macierz diagonalną pomnożyć przez 2 i dodać do niej \(\displaystyle{ 2I}\) ?

\(\displaystyle{ 2\left[\begin{array}{ccc} -3&0&0 \\ 0&-1&0 \\ 0&0&4 \end{array}\right] + 2I = \left[\begin{array}{ccc} -4&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&10 \end{array}\right]}\)

Tak, ta macierz jest podobna do \(\displaystyle{ B}\). Mam nadzieję, że wiesz dlaczego.

Jeśli to jest w porządku to rozumiem, że pierwiastki charakterystyczne macierzy podobnej do \(\displaystyle{ B}\) są identyczne jak macierzy \(\displaystyle{ B}\).

Pierwiastki są te same, bo wielomian charakterystyczny jest ten sam.

czyli ostatecznie będzie że macierz \(\displaystyle{ B}\) jest określona niedodatnio.

Liczba \(\displaystyle{ 10}\) jest dodatnia.

[damianstelma1]

Nie wiem ale jeśli zbadamy kolejne minory:

\(\displaystyle{ \Delta _{1} = -4 < 0 \newline
\Delta _{2} = 0 \newline
\Delta _{3} = 0}\)

To chyba z kryt. Sylvestera wynika, że macierz jest określona niedodatnio. Chyba, że coś pomyliłem.

[norwimaj]

Czy mógłbyś zacytować kryterium Sylvestera, z którego korzystasz?

[damianstelma1]

\(\displaystyle{ \Delta_{k}}\) to ciąg minorów głównych

Macierz określona dodatnio:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k = 1,2,...} \Delta_{k} > 0}\)

określona ujemnie:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k = 1,2,...} (-1)^{k}\Delta_{k} > 0}\)

nieujemnie:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k = 1,2,...} \Delta_{k} \ge 0}\)

niedodatnio:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k = 1,2,...} (-1)^{k}\Delta_{k} \ge 0}\)

Tak mam zanotowane w zeszycie, chociaż muszę przyznać że nigdy kryt. Sylvestera nie widziałem w podręczniku...

[norwimaj]

niedodatnio:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k = 1,2,...} (-1)^{k}\Delta_{k} \ge 0}\)

Czy możesz napisać to pełnym zdaniem?

[damianstelma1]

Dobra, teraz dopiero dojrzałem, że miałem w zeszycie napisane na marginesie że te 2 wzory dla nieujemnej i niedodatniej nie zachodzą Tzn. że kryterium Sylvestera rozstrzyga tylko dodatniość i ujemność macierzy.

Przepraszam za zamęt. W takim razie macierz \(\displaystyle{ B}\) jest oczywiście nieokreślona.