Równanie parametryczne prostej w przestrzeni trójwymiarowej

[jucha]

W przestrzeni trójwymiarowej zapisz równanie parametryczne prostej o wektorze kierunkowym w=(3,-2,2) i przechodzącej przez punkt P=(-1,1,2).
a) Sprawdź, czy przechodzi przez punkt S=(5,-3,0)
b) Zapisz równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkty P i S
c) Zapisz równanie parametryczne hiperpłaszczyzny przechodzącej przez punkty P, S i punkt O=(0,0,0)


Proszę o pomoc!

[chris_f]

To dosyć banalne, wystarczy spojrzeć na definicje różnych postaci prostych i płaszczyzn.
Po pierwsze
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{lll}
x=-1+3t&&\\
y=1-2t&&t\in\mathbb{R}\\
z=2+2t&&\end{array}\right.}\) - szukane równanie.
Aby sprawdzić, czy punkt należy do danej prostej to wstawiamy którąś ze współrzędnych punktu do odpowiedniego równania w równaniu parametrycznym prostej, np za \(\displaystyle{ z}\) wstawiamy \(\displaystyle{ 0}\), wyliczamy \(\displaystyle{ t=-1}\), wstawiamy do pozostałych równań i sprawdzamy czy się zgadza - otrzymujemy \(\displaystyle{ x=-1-3=-4,\ y=1+2=3}\), czy się nie zgadza ze współrzędnymi punktu \(\displaystyle{ S}\) (wystarczy, że nie zgadza się choćby w jednym przypadku), a zatem punkt \(\displaystyle{ S}\) nie leży na tej prostej.
Podpunkt drugi sprowadza się do pierwszego jeżeli za wektor kierunkowy przyjmiesz wektor \(\displaystyle{ \vec{PS}}\).
W trzecim liczysz wektory \(\displaystyle{ \vec{OP}, \vec{OS}}\) i piszesz równanie parametryczne płaszczyzny.