Sprawdź czy jest to podprzestrzeń liniowa...

[Przemyslaw Wilk]

Treść zadania:

Sprawdź czy zbiór A stanowi podprzestrzeń liniową. Jeśli tak, to wyznacz jej bazę i wymiar.

\(\displaystyle{ A = \left\{ x \in R ^{5} : x = \begin{bmatrix} 3a\\-a\\a+b\\0\\2b\end{bmatrix} \wedge a+b=0 \wedge a,b \in R \right\}}\)

Aby być podprzestrzenią liniową zbiór musi spełniać warunki:
1. Zbiór A jest zbiorem niepustym. Co łatwo udowodnić, bo należy do niego np. wektor:

\(\displaystyle{ p=\begin{bmatrix} 3\\-1\\0\\0\\-2\end{bmatrix}}\), dla a = 1 i b = -1

2. Dowolny wektor \(\displaystyle{ c}\) będący kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ d,f \in A}\), musi należeć do zbioru \(\displaystyle{ A}\)

No i tu mam problem, bo nie wiem w jaki sposób mam udowodnić, że \(\displaystyle{ c \in A}\). Wydaje mi się, że punktem wyjścia jest tu:

\(\displaystyle{ c = \alpha d + \beta f \wedge \alpha , \beta \in R}\)

\(\displaystyle{ d=\begin{bmatrix} 3d\\-d\\0\\0\\-2d\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ f=\begin{bmatrix} 3f\\-f\\0\\0\\-2f\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ c = \alpha \begin{bmatrix} 3d\\-d\\0\\0\\-2d\end{bmatrix}+ \beta \begin{bmatrix} 3f\\-f\\0\\0\\-2f\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ c = \begin{bmatrix} 3 \alpha d+3 \beta f\\- \alpha d - \beta f\\0\\0\\-2 \alpha d-2 \beta f\end{bmatrix}}\)

No, ale co dalej ?

[BettyBoo]

Do tej pory masz prawie dobrze, tylko nie możesz nazywać tych wektorów \(\displaystyle{ d,f}\) bo tak nazwałeś elementy.

Pytanie: skąd wiadomo, że jakiś wektor należy do \(\displaystyle{ A}\)?

Pozdrawiam.

[Przemyslaw Wilk]

Wektor należy do podprzestrzeni kiedy można przedstawić go w postaci wyłącznie jednej kombinacji liniowej wektorów bazowych.


\(\displaystyle{ c = \begin{bmatrix} 3 \alpha d'+3 \beta f'\\- \alpha d' - \beta f'\\0\\0\\-2 \alpha d'-2 \beta f'\end{bmatrix}}\)

[BettyBoo]

Nie bardzo kumam, co napisałeś Z definicji zbioru \(\displaystyle{ A}\) wynika, że aby wektor tam należał, to musi być postaci

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3\alpha\\-\alpha\\0\\0\\-2\alpha\end{bmatrix}}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R}}\). Pytanie: Czy potrafisz "swój" wektor zapisać w takiej postaci (=czy potrafisz wskazać takie \(\displaystyle{ \alpha)?}\)

Pozdrawiam.