równanie z wyznacznikiem

[tomsu]

Zadanie, z którym mam problem brzmi:
Obliczyć wyznacznik oraz macierz odwrotną (o ile istnieje) do macierzy A spełniającej równanie: \(\displaystyle{ A^{3} -A = 0}\).
Doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ det [A] * det[A - I] * det[A + I] = 0}\) i na tym moja wiedza się skończyła, nie potrafię ugryźć równości \(\displaystyle{ det[A - I] = 0}\) i \(\displaystyle{ det [A + I] = 0}\) ...
Będę wdzięczny za jakąkolwiek podpowiedź, pozdrawiam!

[fon_nojman]

Jak się wyznaczało wartości własne macierzy? Jakoś za pomocą wyznacznika;)

[tomsu]

Wiem jak się wyznacza wartości własne, ale jakoś nie widzę powiązania do mojego przykładu, mógłbyś jaśniej?

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną \(\displaystyle{ A \Leftrightarrow}\) spełnione jest równanie \(\displaystyle{ det(A-\ldots)=\ldots}\)

Uzupełnij tam gdzie są kropeczki.

[Psiaczek]

Czy ktoś w zadaniu pytał o wartości własne?

\(\displaystyle{ A^3=A}\)

\(\displaystyle{ \det A^3=\det A}\)

\(\displaystyle{ (\det A)^3=detA}\)

\(\displaystyle{ (\det A)^3-\det A=0}\)

\(\displaystyle{ \det A((\det A)^2-1)=0}\)

\(\displaystyle{ \det A(\det A-1)(\det A+1)=0}\)

\(\displaystyle{ \det A=0 \vee \det A=1 \vee \det A=-1}\)



o ile macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\) istnieje to można tak :

\(\displaystyle{ AAA=A}\)

\(\displaystyle{ AAAA^{-1}A^{-1}=AA^{-1}A^{-1}}\)

\(\displaystyle{ A=A^{-1}}\)

[tomsu]

Ale nie powinno być zamiast 1 macierz jednostkowa tak jak ja uwzględniłem (oznaczyłem jako I )? Wydaje mi się, że nie możemy zrobić, że detA=1 tak jak Ty zrobiłeś...

[Psiaczek]

Jeśli ci się wydaje,że ja zrobiłem źle, to pokaż błędy . Z niczego innego oprócz twierdzenia o wyznaczniku iloczynu macierzy oraz własności działań nie korzystam. To co zrobiłeś też nie zawiera błędów:

istotnie \(\displaystyle{ A^3-A=A(A^2-I)=A(A-I)(A+I)}\)

,ale ta droga byłaby przydatna do badania wartości własnych raczej niż wyznacznika.