Kiedy wyznacznik różny od zera

[adambak]

Mam taką macierz z parametrem \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-t&-t&1&1\\1&0&2&0\\1&1&t&t\\0&0&t^2&-t^2\end{array}\right]}\)

i muszę sprawdzić kiedy, dla jakiego \(\displaystyle{ t}\), wektory tworzące tą macierz są liniowo niezależne.. czyli z tego co się orientuję: kiedy macierz jest nieosobliwa, bądź jak kto woli, kiedy wyznacznik jest różny od zera.. nie znam jednak za wiele metod radzenia sobie w takich sytuacjach.. starałem się sprowadzić tą macierz do trójkątnej górnej - wtedy bym powiedział, że dla niezerowych wartości na diagonali, ale się nie udało.. jak to sprytnie zaatakować?

[Qń]

Odejmij pierwszą kolumnę dwa razy od trzeciej, a następnie rozwiń względem drugiego wiersza.

Q.

[adambak]

rozwinąć w sensie z Laplace'a? bo nie mieliśmy właśnie tego.. i kombinuję jak tutaj to obejść.. myślałem, że może jakiś podział na bloki macierzy \(\displaystyle{ 2\times 2}\) i wtedy skorzystać z tego kiedy każdy blok da się odwrócić (wyznacznik takiej małej macierzy to proste) i z tego otrzymać takie \(\displaystyle{ t}\) dla których da się odwrócić całą macierz.. ale to raczej jest złe podejście, bo z tej postaci nic mądrego wywnioskować nie można, a jak się pozamienia kolumny to można zrobić to na kilka sposobów i potem tą metodą o której piszę wychodzą różne wyniki..

[Qń]

Jeśli chcesz bez Laplace'a, to można tak: nietrudno zauważyć, że dla \(\displaystyle{ t=0}\) wyznacznik jest równy zero, a dla \(\displaystyle{ t\neq 0}\) można po kolei:
- podzielić czwarty wiersz przez \(\displaystyle{ t}\)
- dodać trzeci wiersz \(\displaystyle{ t}\) razy do pierwszego
- podzielić pierwszy wiersz przez \(\displaystyle{ 1+t^2}\)
- odjąć pierwszy wiersz \(\displaystyle{ t}\) razy od trzeciego
Wtedy nie ma już żadnego \(\displaystyle{ t}\) i łatwo sprowadzić macierz operacjami elementarnymi do trójkątnej.

Q.

[adambak]

faktycznie, dziękuję!
jej, czasem chyba najpierw piszę, a potem myślę..

-- 17 lis 2011, o 21:34 --

nie takie złe te operacje elementarne.. tak narzekałem, a okazuje się, że jak jest pomysł to szybciutko można nimi doprowadzić macierz do odpowiedniej postaci..