Wyznaczenie bazy podprzestrzeni wektorowej

[Przemyslaw Wilk]

Treść zadania to:
Sprawdź czy zbiór A jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{5}}\). Jeśli tak to wyznacz jej bazę i wymiar.

\(\displaystyle{ A = \left\{ x \in R ^{5}: 2x _{1} + x _{3} - x _{5} = 0 \wedge x _{2} - 3x _{3} = 0 \right\}}\)

Przebrnąłem przez całe zadanie i udowodniłem, że A jest podprzestrzenią rozpiętą na \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\0\\2\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}\end{bmatrix}}\)

No, ale w odpowiedziach mam że wymiar tej bazy to 3, czyli brakuje mi jeszcze jednego wektora, no i nie bardzo wiem jakiego...

[miki999]

My niestety też nie wiemy. Wniosek jest taki, że musiałeś gdzieś popełnić błąd, bo ta przestrzeń nie może być rozpięta na 2 wektorach.

Gdybyś miał wektory postaci:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\ x_4 \\ x_5\end{bmatrix}}\), to baza by miała pięć wektorów (a nie jeden ):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\ 0 \\0\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0\\1\\0\\ 0 \\0\end{bmatrix},\ ... \ \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\ 0 \\1\end{bmatrix}}\)

U ciebie wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_1\\3x_3\\x_3\\ x_4 \\ 2x_1+x_3\end{bmatrix}}\)
Może teraz będzie łatwiej poszukać Ci tej baz.

[Przemyslaw Wilk]

No dobrze, już zrozumiałem, nie wiem czemu przyjąłem, że \(\displaystyle{ x _{4}}\) jest równe 0 i zapisałem postać wektora jako:

x = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\ \frac{1}{3}x _{2}\\0\\2x _{1}+ \frac{1}{3}x _{2}\end{bmatrix}}\)

zamiast:

x = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\ \frac{1}{3}x _{2}\\x _{4} \\2x _{1}+ \frac{1}{3}x _{2}\end{bmatrix}}\)

Czyli mam 3 wektory bazowe:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\0\\2\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\1\\ \frac{1}{3} \\0\\\frac{1}{3}\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\)


Teraz się zgadza, dziękuję za pomoc!