Wyznaczyć wektor własny.

[rolnik41]

Mam macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2\\2&1\end{array}\right]}\)


Policzylem wartosci wlasne
i wychodzi mi \(\displaystyle{ x _{1}=-x _{2}}\)

Co teraz mam zrobić?

[alfgordon]

wartości własne wychodzą:
\(\displaystyle{ \lambda_1 =3}\)
\(\displaystyle{ \lambda_2 =-1}\)

rozwiązujesz:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1-\lambda&2 \\ 2&1-\lambda \end{vmatrix} =0}\)

potem aby znaleźć wektor własny rozwiązujesz układ(w miejsce \(\displaystyle{ \lambda}\) wstawiasz wartości własne):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1-\lambda&2 \\ 2&1-\lambda \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}}\)

[rolnik41]

Przepraszam źle sformulowałem zdanie. Właśnie po wstawieniu wartości własnych i po rozwiązaniu układu równań wychodzi mi \(\displaystyle{ x _{1}=x _{2}}\)

[alfgordon]

niech \(\displaystyle{ x_2 =t}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x_1 =t}\)
gdzie \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ V_3 =\left\{ (t,t), t \in \mathbb{R} \right\} =Lin \left\{ (1,1)\right\}}\)

więc wektor własny odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda =3}\) to \(\displaystyle{ (1,1)}\)

[rolnik41]

Co to jest to Lin i dlaczego akurat t=1 skoro chwile wcześniej piszesz tylko \(\displaystyle{ t \in R}\)?

[alfgordon]

\(\displaystyle{ V_3 =\left\{ (t,t), t \in \mathbb{R} \right\} =\left\{ t(1,1), t \in \mathbb{R} \right\}= Lin \left\{ (1,1)\right\}}\)

\(\displaystyle{ Lin}\) -liniowa powłoka

[rolnik41]

Nie chce mi się wierzyć że miałbym "użyć" powłoki liniowej do rozwiazania zadania bo tego na wykładach nie było. Nie ma jakieś prostej dedukcyjnej metody? A jak napiszę wektor \(\displaystyle{ = [t,t]}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in R}\) to będzie poprawnie?

[alfgordon]

to napisz, że wektor własny jest postaci:
\(\displaystyle{ v=(t,t) =t(1,1)}\)

[rolnik41]

a dlaczego akurat (1,1) a nie np (3,4)?

[alfgordon]

\(\displaystyle{ x_1 =x_2}\)

więc wstawiając otrzymujemy:: \(\displaystyle{ 3 \neq 4}\)

\(\displaystyle{ t(1,1)}\) to jest zbiór rozwiązań równania:(\(\displaystyle{ x_1 =x_2}\) )w zależności od \(\displaystyle{ t}\)
wstawiając mamy:
\(\displaystyle{ t=t}\)

czyli jakąkolwiek liczbę wstawimy w miejsce \(\displaystyle{ t}\) równanie będzie prawdziwe