Należy dowieźć, że wzór ogólny na wyznacznik tej macierzy równy jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \left( x+a\right)^{2} + \left( x-a\right) ^{2}\right)}\)
Próbowałem zrobić to na piechotę zaczynając od policzenia wyznacznika 2x2, potem 3x3...przy 4x4 dostałem oczopląsu. Naturalnie stosowałem rozwinięcie Laplace'a.
Wniosek jaki mi się nasunął po tych obliczeniach jest taki: W rozwinięciu Laplace'a macierzy stopnia n+1 zawsze mamy jako jeden z członów tego rozwinięcia wyznacznik macierzy o stopniu n.
Podstawiałem też kolejne n do wzoru aby znaleźć jakąś zależność, ale bez skutku. I tak:
dla n = 2: \(\displaystyle{ x^{2} + a^{2}}\)
dla n = 3: \(\displaystyle{ x^{3} + 3xa^{2}}\)
dla n = 4: \(\displaystyle{ x^{4} + 6x^{2}a^{2}}\)
dla n = 5: \(\displaystyle{ x^{5} + 10x^{3}a^{2}+5xy^{4}}\)
dla n = 6: \(\displaystyle{ x^{6} + 15x^{4}a^{2} + 15x^{2}a^{4} + a^{6}}\)
dla n = 7: \(\displaystyle{ x^{7} + 21x^{5}a^{2} + 35x^{3}a^{4} + 7xa^{6}}\)
Przede wszystkim, nie taki wzór ma być, tylko \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \left( x+a\right)^{n} + \left( x-a\right) ^{n}\right)}\).
Dowód można zrobić indukcyjnie względem stopnia macierzy.
Wskazówka:
Oznaczmy ten wyznacznik stopnia \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ D_n}\). Żeby skorzystać z założenia indukcyjnego trzeba znaleźć związek między \(\displaystyle{ D_{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ D_n}\). Robisz tak: najpierw od \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza odejmujesz \(\displaystyle{ n-1}\)-wszy, potem od wiersza \(\displaystyle{ n-1}\)-go odejmujesz \(\displaystyle{ n-2}\) itd..aż w końcu do drugiego odejmujesz pierwszy (w tej kolejności!). Potem robisz rozwinięcie Laplace'a względem ostatniego wiersza. Powstaje Ci suma wyznaczników. Jeden łatwo się liczy, a drugi zawiera w sobie \(\displaystyle{ D_{n-1}}\).
