Witam,
Problem jest następujący. Mamy macierz n stopnia:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x&a&a&...&a\\-a&x&a&...&a\\-a&-a&x&...&a\\...&...&...&...&...\\-a&-a&-a&...&x\end{bmatrix}}\)
Należy dowieźć, że wzór ogólny na wyznacznik tej macierzy równy jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \left( x+a\right)^{2} + \left( x-a\right) ^{2}\right)}\)
Próbowałem zrobić to na piechotę zaczynając od policzenia wyznacznika 2x2, potem 3x3...przy 4x4 dostałem oczopląsu. Naturalnie stosowałem rozwinięcie Laplace'a.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} x&a\\-a&x\end{vmatrix} = x^{2} - a^{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} x&a&a\\-a&x&a\\-a&-a&x\end{vmatrix} = x^{3} - 3a^{2}x}\)
Wniosek jaki mi się nasunął po tych obliczeniach jest taki: W rozwinięciu Laplace'a macierzy stopnia n+1 zawsze mamy jako jeden z członów tego rozwinięcia wyznacznik macierzy o stopniu n.
Podstawiałem też kolejne n do wzoru aby znaleźć jakąś zależność, ale bez skutku. I tak:
dla n = 2: \(\displaystyle{ x^{2} + a^{2}}\)
dla n = 3: \(\displaystyle{ x^{3} + 3xa^{2}}\)
dla n = 4: \(\displaystyle{ x^{4} + 6x^{2}a^{2}}\)
dla n = 5: \(\displaystyle{ x^{5} + 10x^{3}a^{2}+5xy^{4}}\)
dla n = 6: \(\displaystyle{ x^{6} + 15x^{4}a^{2} + 15x^{2}a^{4} + a^{6}}\)
dla n = 7: \(\displaystyle{ x^{7} + 21x^{5}a^{2} + 35x^{3}a^{4} + 7xa^{6}}\)
Pomocy
Wzór ogólny na wyznacznik specyficznej macierzy n stopnia
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 2 wrz 2010, o 00:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 4 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Wzór ogólny na wyznacznik specyficznej macierzy n stopnia
Co i komu należy dowieźć?Należy dowieźć
Przede wszystkim, nie taki wzór ma być, tylko \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( \left( x+a\right)^{n} + \left( x-a\right) ^{n}\right)}\).
Dowód można zrobić indukcyjnie względem stopnia macierzy.
Wskazówka:
Oznaczmy ten wyznacznik stopnia \(\displaystyle{ n}\) przez \(\displaystyle{ D_n}\). Żeby skorzystać z założenia indukcyjnego trzeba znaleźć związek między \(\displaystyle{ D_{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ D_n}\). Robisz tak: najpierw od \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza odejmujesz \(\displaystyle{ n-1}\)-wszy, potem od wiersza \(\displaystyle{ n-1}\)-go odejmujesz \(\displaystyle{ n-2}\) itd..aż w końcu do drugiego odejmujesz pierwszy (w tej kolejności!). Potem robisz rozwinięcie Laplace'a względem ostatniego wiersza. Powstaje Ci suma wyznaczników. Jeden łatwo się liczy, a drugi zawiera w sobie \(\displaystyle{ D_{n-1}}\).
Pozdrawiam.