Wykaz/Sprawdz ze wektory/uklady tworza baze

[ogre]

Zad.1. Wykaz, ze wektory \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1,0,0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1,1,0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1,1,1 \end{bmatrix}}\) tworza baze przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^{3}}\).

zad.2. Sprawdź, czy dane układy wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowych \(\displaystyle{ V}\):

a) \(\displaystyle{ \left\{ \begin{bmatrix} 2,5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3,1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 6,-7 \end{bmatrix}, V \right\} = R^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \left\{ \begin{bmatrix} 2,3,-1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1,-3,2 \end{bmatrix}, V \right\} = R^{3}}\)
c) \(\displaystyle{ \left\{ \begin{bmatrix} 1,-1,4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3,0,1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2,1,-2 \end{bmatrix}, V \right\} = R^{3}}\)

Kompletnie nie mam pojecia jak to zrobic :/

[tometomek91]

Zad.1
Niech \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{R}}\).
Mamy \(\displaystyle{ a[1,0,0]+b[1,1,0]+c[1,1,1]=\theta \Rightarrow a=b=c=0}\) - liniowa niezależność. Pokażemy, że generują całą przestrzeń:
Niech \(\displaystyle{ x,y,z}\) ustalone liczby rzeczywiste. Twierdzimy, ze istenieją jednoznacznie wyznaczone liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a,b,c}\) takie, że \(\displaystyle{ a[1,0,0]+b[1,1,0]+c[1,1,1]=[x,y,z]}\).
Istnienie: Istotnie, wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ a=x-y}\), \(\displaystyle{ b=y-z}\) i \(\displaystyle{ c=z}\).
Jednoznaczność wynika z liniowej niezależności.

[ogre]

Super rozwiązane, szkoda tylko że nic nie rozumiem