Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
ogre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 277
Rejestracja: 15 kwie 2008, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Imperium Romanum
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: ogre »

Zad. Zbadaj liniową niezależność następujących układów wektorów
Jak sie w ogole takie cos sprawdza?

a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1,-2,3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1,0,1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0,2,1 \end{bmatrix} w R^{3}}\)

b) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1,-2,3 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1,0,1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1,-2,1\end{bmatrix} w R^{3}}\)

c) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2,4,5 \end{bmatrix}^{T},\begin{bmatrix} 1,-1,1 \end{bmatrix}^{T},\begin{bmatrix} -1,7,2\end{bmatrix}^{T} z R^{3}}\)

d) wektory \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x-1, x^{3}+x^{2}-x-1, x^{3}-x^{2}-x-1, x^{3}+x^{2}+x+1}\)z przestrzeni liniowej wielomianow rzeczywistych stopnia\(\displaystyle{ \le 3}\)
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: alfgordon »

ogre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 277
Rejestracja: 15 kwie 2008, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Imperium Romanum
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: ogre »

Przeczytalem to, jednak nie znam optymalnego sposobu na szukanie tego, a na pewno takowy jest... Prosilbym o pomoc. Bede szukal godzinami tego...
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: alfgordon »

a)\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1&0 \\ -2&0&2 \\ 3&1&1 \end{vmatrix}}\)

sprawdzasz czy wyznacznik jest różny od zera, jeżeli jest to wektory są liniowo niezależne
ogre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 277
Rejestracja: 15 kwie 2008, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Imperium Romanum
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: ogre »

Jak liczy się wyznacznik dla macierzy 3x3 ?
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: alfgordon »

więc z definicji zbadaj liniową niezależność

\(\displaystyle{ \alpha (1,-2,3) +\beta(1,0,1) +\gamma (0,2,1) =(0,0,0)}\)

sprawdzasz czy \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=0}\)
jeżeli tak to wektory są liniowo niezależne
ogre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 277
Rejestracja: 15 kwie 2008, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Imperium Romanum
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: ogre »

wyszlo mi, ze \(\displaystyle{ -\alpha=\beta, \alpha=\gamma,3\alpha=0}\)\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)\(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=0}\)

Czyli sa liniowo niezalezne, tak?

Dlaczego nie powiedziales nic o wyznacznikowej metodzie?-- 15 listopada 2011, 21:24 --W drugim wyszlo mi, ze \(\displaystyle{ A=-\frac{B}{2}, C=\frac{B}{2}, 0=0}\) co to oznacza? Jak zrobic trzecie (do potegi T)?
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: alfgordon »

wyznacznik 3 na 3:


b) są liniowo zależne, trzeci wektor można zapisać jako kombinację liniową pozostałych: \(\displaystyle{ (-1,-2,1)=(1,-2,3)-2(1,0,1)}\)

c)to nie jest potęga tylko transpozycja:
ogre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 277
Rejestracja: 15 kwie 2008, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Imperium Romanum
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: ogre »

Dlaczego mi w takim razie twoim sposobem nie wyszlo w przykladzie b) ?

\(\displaystyle{ \begin{cases} A+B-C=0\\ -2A-2C=0\\ 3A+B+C=0 \end{cases}}\)
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: alfgordon »

dlaczego nie wyszło?
współczynniki nie wyszły zerowe więc są liniowo zależne
ogre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 277
Rejestracja: 15 kwie 2008, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Imperium Romanum
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: ogre »

Czyli macierz transponowaną trzeba zapisać w postaci macierzy nieprzetransponowanej a następnie regułą sarrusa wyliczyć można ?
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: alfgordon »

tak,możesz
ogre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 277
Rejestracja: 15 kwie 2008, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Imperium Romanum
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: ogre »

Jak sobie poradzic z przykladem D)?
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: alfgordon »

tak jak poprzednie
\(\displaystyle{ \alpha v_1 +\beta v_2 +\gamma v_3 +\delta v_4 =0}\)
porównujesz współczynniki przy tych samych potęgach i sprawdzasz czy
\(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=\delta=0}\)
ogre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 277
Rejestracja: 15 kwie 2008, o 22:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Imperium Romanum
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 15 razy

Zbadaj liniowa niezaleznosc ukladow wektorow

Post autor: ogre »

Moglbys to rozpisac ? Nie wiem czy jestem pewien sposobu rozwiazania.
ODPOWIEDZ