Liniowe kombinacje macierzy

[ogre]

Zad.
Które z następujących macierzy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&-8\\-1&-8 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0&0\\0&0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 6&0\\3&8 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1&5\\7&1 \end{bmatrix}}\)
są liniowymi kombinacjami następującego układu macierzy

\(\displaystyle{ A1=\begin{bmatrix} 4&0\\-2&-2 \end{bmatrix} , A2=\begin{bmatrix} 1&-1\\2&3 \end{bmatrix} , A3=\begin{bmatrix} 0&2\\1&4 \end{bmatrix} ?}\)

Jak to rozwiązać o co tu chodzi? ;/

[BettyBoo]

A co to jest kombinacja liniowa?

Pozdrawiam.

[ogre]

Sprawdzilem dla pierwszej macierzy, i mi wyszlo \(\displaystyle{ a=1, b=2, c=-3}\)

To oznacza ze jest, dla wspolczynnikow takich ?

[BettyBoo]

Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) oznaczają to co myślę, że oznaczają, to właśnie pokazałeś, że można zapisać pierwszą macierz jako kombinację liniową \(\displaystyle{ A1,A2,A3}\).

Pozdrawiam.

[ogre]

Robiłem na wzór tego posta, potwierdź jeśli możesz proszę, a ja zrobię resztę.

https://www.matematyka.pl/76950.htm#p290482

Sprawdziłem dla drugiej, i wyszło mi \(\displaystyle{ a=0,b=0,c=0}\) - co oznacza ten przypadek??

[BettyBoo]

Tak, to uniwersalna metoda - po prostu korzystasz z definicji kombinacji liniowej. Pamiętaj, że w ten sposób otrzymujesz wszystkie możliwe przedstawienia macierzy w postaci kombinacji liniowej zadanych macierzy. W tym zadaniu Ty tak naprawdę potrzebujesz tylko wiedzieć, że istnieje przynajmniej jedno - jeśli więc jesteś w stanie je wymyślić bez specjalnych obliczeń, to też dobrze (np. dla drugiej macierzy łatwo można wymyślić współczynniki przykładowej kombinacji liniowej).

Sprawdziłem dla drugiej, i wyszło mi a=0,b=0,c=0 - co oznacza ten przypadek??

Nie bardzo rozumiem, o co pytasz.

Pozdrawiam.

[ogre]

Zapomnialem sprawdzac ostatniego warunku.

Wychodzi na to ze pierwsza pasuje wszedzie, reszta juz nie. Prosze o sprawdzenie. To jak jest z ta druga ? Moglbys przedstawic sposob myslenia? No bo w drugiej wyszlo mi a=0, b=0, c=0, czyli jakby wzsystko sie sobie rowna. To oznacza ze pierwsza i druga pasuje?-- 15 listopada 2011, 20:36 --Chodzi o to ze do drugiej po prostu wszedzie zera tak?

Mozesz przedstawic swoj sposob rozwiazania np pierwszego?

[BettyBoo]

Chyba nadal nie do końca rozumiem, co właściwie napisałeś... Ale nic to.

Zasadniczo chodzi o to, że jeśli dla danej macierzy \(\displaystyle{ A}\) uda Ci się w jakikolwiek sposób znaleźć jakiekolwiek liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) takie, że \(\displaystyle{ A=aA1+bA2+cA3}\), to znaczy, że \(\displaystyle{ A}\) jest kombinacją liniową \(\displaystyle{ A1,A2,A3}\). Jeśli Ci się nie uda - to nie jest. Dla pierwszej i drugiej macierzy udało Ci się takie liczby znaleźć - więc są to kombinacje liniowe macierzy \(\displaystyle{ A1,A2,A3}\). I już.

W pierwszym nic nie widać na pierwszy rzut oka, więc zostaje raczej uniwersalna metoda.

Pozdrawiam.

[ogre]

Dzięki wielkie ! Leci plusik