Obliczanie wyznaczników

[Eska92]

1. Obliczyć wyznacznik


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&n&n-1&...&3&2\\2&1&n&...&4&3\\3&2&1&...&5&4\\.&.&.&...&.&.\\n&n-1&n-2&...&2&1\end{bmatrix}}\).

2. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a_{ij}= {i + j - 2 \choose j - 1}}\), to wyznacznik \(\displaystyle{ det\left[ a_{ij}\right] = 1}\).

[Eska92]

Da radę ktoś pomóc z tymi zadaniami?

[norwimaj]

Ad 1.

Wydaje mi się to dosyć skomplikowane, ale może się uda.

Krok 1: Od pierwszej kolumny odejmujemy drugą.

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{r|rrrrr}
1-n&n&n-1&\cdots&3&2\\\hline
1&1&n&\cdots&4&3\\
1&2&1&\cdots&5&4\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
1&n-1&n-2&\cdots&2&1
\end{array}\right|}\)

Krok 2: Do pierwszego wiersza dodajemy wszystkie pozostałe. Następnie z pierwszego wiersza wyłączamy \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}2}\).

\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}2\cdot
\left|\begin{array}{r|rrrrr}
0&1&1&\cdots&1&1\\\hline
1&1&n&\cdots&4&3\\
1&2&1&\cdots&5&4\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
1&n-1&n-2&\cdots&2&1
\end{array}\right|}\)


Krok 3: Od drugiej kolumny odejmujemy trzecią i pierwszą.

\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}2\cdot
\left|\begin{array}{r|r|rrrr}
0&0&1&\cdots&1&1\\\hline
1&-n&n&\cdots&4&3\\\hline
1&0&1&\cdots&5&4\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
1&0&n-2&\cdots&2&1
\end{array}\right|}\)

Krok 4: Wyłączamy z drugiej kolumny \(\displaystyle{ -n}\) i zerujemy prawie cały drugi wiersz.

\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}2\cdot(-n)^1\cdot
\left|\begin{array}{r|r|rrrrr}
0&0&1&1&\cdots&1&1\\\hline
0&1&0&0&\cdots&0&0\\\hline
1&0&1&n&\cdots&5&4\\
1&0&2&1&\cdots&6&5\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
1&0&n-2&n-3&\cdots&2&1
\end{array}\right|}\)

Krok 5: Powtarzamy kroki 3 i 4 na kolejnych kolumnach.

To znaczy najpierw od trzeciej kolumny odejmujemy pierwszą i czwartą, z trzeciej kolumny wyłączamy \(\displaystyle{ (-n)}\), zerujemy prawie cały trzeci wiersz, potem robimy to samo dla kolejnych kolumn.

\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}2\cdot(-n)^2\cdot
\left|\begin{array}{r|rr|rrrr}
0&0&0&1&\cdots&1&1\\\hline
0&1&0&0&\cdots&0&0\\
0&0&1&0&\cdots&0&0\\\hline
1&0&0&1&\cdots&6&5\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
1&0&0&n-3&\cdots&2&1
\end{array}\right|}\),

\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}2\cdot(-n)^3\cdot
\left|\begin{array}{r|rrr|rrr}
0&0&0&0&\cdots&1&1\\\hline
0&1&0&0&\cdots&0&0\\
0&0&1&0&\cdots&0&0\\
1&0&0&1&\cdots&0&0\\\hline
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
1&0&0&0&\cdots&2&1
\end{array}\right|}\),

itd, aż na końcu dostajemy

\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}2\cdot(-n)^{n-2}\cdot
\left|\begin{array}{r|rrrrr|r}
0&0&0&0&\cdots&0&1\\\hline
0&1&0&0&\cdots&0&0\\
0&0&1&0&\cdots&0&0\\
0&0&0&1&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&0&\cdots&1&0\\\hline
1&0&0&0&\cdots&0&1
\end{array}\right|
=-\frac{n(n+1)}2\cdot(-n)^{n-2}}\)

[Eska92]

pozostaje się modlić, żeby pan profesor nie był tak miły i nie dał tego na egzaminie...

dzięki za pomoc później sobie to z pewnością przejrzę dokładniej