Sumy proste podprzestrzeni

[adambak]

Dwa zadanka (ostatnie już na dziś, bo trochę ich już narobiłem ):
1) w \(\displaystyle{ \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\) dane są podprzestrzenie:

\(\displaystyle{ X=\left\{ p\in \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}} : p(0)=p(1)=0 \right\}}\)

\(\displaystyle{ Y=\left\{ p\in \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}} : p(-1)+p(1)=p(-2)+p(2) \right\}}\)

Czy \(\displaystyle{ \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}} = X \oplus Y}\)?

czyli pytanie jest o to, czy suma prosta tych dwóch podprzestrzeni daje całą przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\). aby to było spełnione to suma tych podprzestrzeni musi generować wszystkie możliwe wielomiany w \(\displaystyle{ \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\), ale czy żeby to było spełnione musi też zachodzić: \(\displaystyle{ X+Y=\left\{ 0\right\}}\), czy niekoniecznie?

tak czy siak, każdy taki wielomian wygląda tak: \(\displaystyle{ \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}\ni p(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\), a więc bez jakiejś finezji robię układ równań, żeby znaleźć bazy obu podprzestrzeni:

dla \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} d=0 \\ a+b+c=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ b=-a-c}\), czyli mamy \(\displaystyle{ X \ni p(x)=ax^3+x^2(-a-c)+cx=a(x^3-x^2)+c(-x^2+x)}\), czyli \(\displaystyle{ X=\text{span}\left\{ x^3-x^2, \ -x^2+x \right\}}\)

teraz dla \(\displaystyle{ Y}\):
\(\displaystyle{ -a+b-c+d+a+b+c+d = -8a+4b-2c+d+8a+4b+2c+d \Rightarrow 6b=0 \Rightarrow b=0}\)
w takim razie: \(\displaystyle{ Y=\text{span}\left\{ x^3, \ x, \ 1 \right\}}\)
wygląda mi na to, że te bazy w sumie pozwolą mi wygenerować wszystkie wielomiany z \(\displaystyle{ \mathcal{P}^4_{\mathbb{R}}}\).. a i chyba są nawet rozłączne.. jakie wnioski powinienem wyciągnąć z tego, czy to jest w ogóle poprawne?


2) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2,2}}\) dana jest podprzestrzeń liniowa:

\(\displaystyle{ X=\left\{ A\in \mathbb{R}^{2,2} : [1, \ 1]A=[0, \ 0] \right\}}\)

określ \(\displaystyle{ \dim X}\) i znajdź bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ Y \subset \mathbb{R}^{2,2}}\) takiej, że: \(\displaystyle{ X\oplus Y = \mathbb{R}^{2,2}}\)
tutaj mam problem, bo nie jest tak fajnie jak było w innych zadaniach.. mamy przestrzeń macierzy, wektory są fajniejsze.. ale do roboty, chcę określić bazę \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ X\ni A = \left[\begin{array}{cc}x_1&x_2 \\ x_3&x_4 \end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ [1, \ 1] \cdot \left[\begin{array}{cc}x_1&x_2 \\ x_3&x_4 \end{array}\right]=[0, \ 0]}\)

\(\displaystyle{ x_1+x_3=0 \Rightarrow x_3=-x_1}\)
\(\displaystyle{ x_2+x_4=0 \Rightarrow x_4=-x_2}\)

a więc każdą taką macierz w \(\displaystyle{ X}\) można zapisać jako:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}x_1&x_2 \\ -x_1&-x_2 \end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{cc}1&0 \\ -1&0 \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{cc}0&1 \\ 0&-1 \end{array}\right]}\)

czyli mam \(\displaystyle{ \dim X=2}\)? niestety nie wiem jak dalej to pociągnąć.. jak znaleźć taką bazę \(\displaystyle{ Y}\), żeby jej suma prosta z \(\displaystyle{ X}\) generowała całą przestrzeń macierzy kwadratowych \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) (w dodatku musi ta baza być rozłączna z bazą \(\displaystyle{ X}\)?)...