Liniowa niezależność

[r4czek]

Treść zadania brzmi następująco:
Niech \(\displaystyle{ v_{1},v_{2}, \ldots ,v_{n-1},v_{n}}\) - układ wektorów liniowo niezależnych. Dla jakich \(\displaystyle{ a_{1}, \ldots ,a_{n} \in \mathbb{K}}\) układ \(\displaystyle{ v_{1}, \ldots ,v_{n-1},a_{1}v_{1}+ \ldots +a_{n}v_{n} \in \mathbb{K}}\) jest również liniowo niezależny?

I nie wiem czy dobrze się za to zabrałem...

1)Na początku pozwoliłem sobie na dodanie do pierwszego układu wektorów współczynników i dodanie trochę formalnego zapisu:
\(\displaystyle{ b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+ \ldots +b_{n-1}v_{n-1}+b_{n}v_{n}=0 \Leftrightarrow b_{1}= \ldots =b_{n}=0}\)

2) Można zatem stwierdzić że
\(\displaystyle{ b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+ \ldots +b_{n-1}v_{n-1}+b_{n}v_{n}=0 \Leftrightarrow b_{1}v_{1}=b_{2}v_{2}= \ldots =b_{n-1}v_{n-1}=b_{n}v_{n}=0}\)

3) W takim razie układ:
\(\displaystyle{ v_{1}, \ldots ,v_{n-1},a_{1}v_{1}+ \ldots +a_{n}v_{n}}\)

4) Albo właściwie już po dopisaniu współczynników układ:
\(\displaystyle{ b_{1}v_{1}, \ldots ,b_{n-1}v_{n-1},a_{1}v_{1}+ \ldots +a_{n}v_{n}}\)

5) W którym zamieniliśmy tylko i wyłącznie ostatni wektor, będzie liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy kiedy:
\(\displaystyle{ a_{1}v_{1}+ \ldots +a_{n}v_{n}=0}\)

6) A ten oto układ będzie równy 0 wtedy i tylko wtedy kiedy \(\displaystyle{ a_{1}= \ldots a_{n} = 0}\), czyli kiedy będzie liniowo niezależny.

Dobre rozumowanie/wnioski? Dla ułatwienia ponumerowałem kroki żeby łatwiej było wskazać błędy =)
Bardzo proszę o pomoc!

[fon_nojman]

Czy w 1) chciałeś zapisać definicję liniowej niezależności?

[r4czek]

Tak, czy zrobiłem to źle?

[fon_nojman]

Zamiast przecinków powinny być plusy, przypomnij sobie definicję.

[r4czek]

Uch, po prostu zapomniałem zamienić przecinki na plusy =) już poprawiłem. Ale tak to to jest ok?-- 13 lis 2011, o 14:10 --Co więcej, zadanie ma drugą część:

Niech \(\displaystyle{ v_{1},v_{2}, \ldots ,v_{n-1},v_{n}}\) - układ wektorów liniowo niezależnych.
Dla jakich \(\displaystyle{ a_{1,1}, \ldots ,a_{1,n}, \ldots ,a_{k,1}, \ldots ,a_{k,n}}\) układ \(\displaystyle{ a_{1,1}v_{1}+ \ldots + a_{1,n}v_{n}, \ldots ,a_{k,1}v_{1}+ \ldots +a_{k,n}v_{n}}\) jest liniowo niezależny?

No i wykombinowałem że:

1)Do każdego wektora w tym układzie dorzuciłem współczynnik i zastosowałem do definicji liniowej niezależności:
\(\displaystyle{ b_{1}(a_{1,1}v_{1}+ \ldots + a_{1,n}v_{n})+ \ldots +b_{k}(a_{k,1}v_{1}+ \ldots +a_{k,n}v_{n})=0 \Leftrightarrow b_{1}= \ldots = b_{k}=0}\)

2) W takim razie, aby układ był liniowo niezależny musi być spełniony warunek:
\(\displaystyle{ b_{1}(a_{1,1}v_{1}+ \ldots + a_{1,n}v_{n})= \ldots =b_{k}(a_{k,1}v_{1}+ \ldots +a_{k,n}v_{n})=0}\)

3) Jeżeli weźmiemy pod uwagę że:
\(\displaystyle{ b_{1}= \ldots = b_{k}=0}\)

4) Wychodzi nam że każdy składnik tej sumy:
\(\displaystyle{ b_{1}(a_{1,1}v_{1}+ \ldots + a_{1,n}v_{n})+ \ldots +b_{k}(a_{k,1}v_{1}+ \ldots +a_{k,n}v_{n})}\)

5) Jest równy 0 niezależnie od tego co znajduje się w nawiasie, a tym samym niezależnie od \(\displaystyle{ a_{1,1}, \ldots ,a_{1,n}, \ldots ,a_{k,1}, \ldots ,a_{k,n}}\)

6) W takim razie układ jest liniowo niezależny dla dowolnych
\(\displaystyle{ a_{1,1}, \ldots ,a_{1,n}, \ldots ,a_{k,1}, \ldots ,a_{k,n}}\)

[fon_nojman]

Zajmijmy się najpierw pierwszą częścią.

W 1) zapominasz o kwantyfikatorze, to co napisałeś nie jest definicja liniowej niezależności, tam powinna być implikacja.

[r4czek]

Hmmm, ja dostałem na wykładzie następującą definicję (przepisuję słowo w słowo):

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Układ wektorów \(\displaystyle{ v_{1},v_{2}, \ldots ,v_{k}}\) przestrzeni wektorowej V nazywamy liniowo zależnym, jeśli istnieją \(\displaystyle{ a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{3} \in K}\) nie wszystkie równe 0, takie że \(\displaystyle{ a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+ \ldots +a_{k}v_{k}=0}\). Układ wektorów \(\displaystyle{ v_{1},v_{2}, \ldots ,v_{k}}\) jest liniowo niezależny, jeśli
\(\displaystyle{ a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+ \ldots +a_{k}v_{k} = 0 \Leftrightarrow a_{1}=a_{2}= \ldots =a_{k}=0}\)

[fon_nojman]

Dobra z tym jeszcze mogę się zgodzić ale w 2) korzystasz z tego, że

\(\displaystyle{ b_{1}= \ldots =b_{n}=0 \Leftrightarrow b_{1}v_{1}=b_{2}v_{2}= \ldots =b_{n-1}v_{n-1}=b_{n}v_{n}=0}\)

co już nie jest prawda.

PS: W twoim rozumowaniu na pewno jest coś źle ponieważ odpowiedź to \(\displaystyle{ a_n \neq 0,}\) tylko problem ze znalezieniem błędu

[r4czek]

Ale czemu to jest nieprawdą? =)
Wiemy że \(\displaystyle{ b_{1}= \ldots =b_{n}=0}\) a więc \(\displaystyle{ b_{1}v_{1}=b_{2}v_{2}= \ldots =b_{n-1}v_{n-1}=b_{n}v_{n}=0}\) to nic innego jak \(\displaystyle{ 0 \cdot v_{1}=0 \cdot v_{2}= \ldots =0 \cdot v_{n-1}=0 \cdot v_{n}=0}\)

[fon_nojman]

W tą strone jest dobrze ale piszesz równoważność w drugą strone już nie zachodzi.

[r4czek]

Dobra, to w takim razie może: jak być powinno? =) prosiłbym o naprowadzenie na tok rozumowania.

[fon_nojman]

To najpierw bardziej obrazowa metoda. Mamy bazę \(\displaystyle{ v_{1},v_{2}, \ldots ,v_{n-1},v_{n},}\) każdy z wektorów \(\displaystyle{ v_{1}, \ldots ,v_{n-1},a_{1}v_{1}+ \ldots +a_{n}v_{n}}\) można zapisać w tej bazie, \(\displaystyle{ (1,0,\ldots,0), (0,1,\ldots,0),\ldots, (0,0,\ldots, a_1+a_2+\ldots+a_n).}\) Zbudujmy z tych wektorów macierz

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&\ldots&0\\0&1&\ldots&0\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\a_1&a_2&\ldots&a_n\end{bmatrix}}\)

kiedy te wektory będą liniowo niezależne, podpowiedź: coś w wyznacznikiem.

Druga metoda:

Weźmy dowolne skalary \(\displaystyle{ b_1,\ldots, b_n}\) spełniające

\(\displaystyle{ b_1v_1+b_2v_2+\ldots+b_{n-1}v_{n-1}+b_n(a_1v_1+\ldots+a_nv_n)=0.}\)

Ponieważ zachodzi

\(\displaystyle{ b_1v_1+b_2v_2+\ldots+b_{n-1}v_{n-1}+b_n(a_1v_1+\ldots+a_nv_n)=(b_1+b_na_1)v_1+\ldots+(b_{n-1}+b_na_{n-1})v_{n-1}+b_na_nv_n}\)

więc

\(\displaystyle{ (b_1+b_na_1)v_1+\ldots+(b_{n-1}+b_na_{n-1})v_{n-1}+b_na_nv_n=0.}\)

Z liniowej niezależności \(\displaystyle{ v_1+\ldots+v_n}\) mamy

\(\displaystyle{ b_1+b_na_1=0,\ldots, b_na_n=0.}\)

I dalej coś kombinować.

[r4czek]

Mam masę pytań do tego, ale po kolei =)

SPOSÓB 1:
1) Dlaczego określiłeś te wektory mianem bazy?
2) Nie wiem czy dobrze zrozumiałem tę macierz...
Każdy wektor możemy zapisać następująco:
\(\displaystyle{ v_{1}=1 \cdot v_{1} + 0 \cdot v_{2} + 0 \cdot v_{3} + \ldots + 0 \cdot v_{n} \\ v_{2}=0 \cdot v_{1} + 1 \cdot v_{2} + 0 \cdot v_{3} + \ldots + 0 \cdot v_{n} \\ \vdots \\ v_{n}=a_{1} \cdot v_{1} + a_{2} \cdot v_{2} + a_{3} \cdot v_{3} + \ldots + a_{n} \cdot v_{n}}\)

Tylko że to dla mnie jakieś takie dziwne... Przedstawiać wektor przy użyciu tego wektora.

Chcę pokazać co budzi moją niepewność:
Weźmy sobie wektory \(\displaystyle{ v_{1}=(1,1) \ i \ v_{2}=(2,2)}\). Widać że te wektory są liniowo zależne. No ale teraz przedstawmy je sobie w ten sam sposób który jest wyżej:
\(\displaystyle{ v_{1}=1 \cdot v_{1} + 0 \cdot v_{2} \\ v_{2}=0 \cdot v_{1} + 1 \cdot v_{2}}\)

No i teraz nam powstaje macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}}\) która to ma wyznacznik 1 czyli sugeruje że wektory są liniowo niezależne...

Wiem że pewnie coś pokićkałem i jest nie tak jak być powinno, ale proszę o cierpliwość =)


SPOSÓB 2:
Hmm... czy mogę zaryzykować takie stwierdzenie (na przykładzie pierwszego współczynnika):
\(\displaystyle{ b_{1}+b_{n}a_{1}=b_{1} \\ b_{n}a_{1}=0 \wedge b_{1}+b_{n}a_{1}=0 \Rightarrow b_{1}=0}\)
No i analogicznie będzie dla wszystkich pozostałych. Czyli będziemy mieli układ:
\(\displaystyle{ 0 + 0+ \ldots + b_{n}a_{n}v_{n} = 0}\). No tylko tutaj nie wiem jak to "zakończyć" poza tym że \(\displaystyle{ a_{n} \vee b_{n} = 0}\).

[fon_nojman]

Sposób 1)

1) Jeżeli wektory \(\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n}\) są liniowo niezależne to stanowią bazę \(\displaystyle{ lin\{v_1,\ldots,v_n\}.}\)

2) Wektory \(\displaystyle{ v_1,\ldots,v_{n-1}}\) zapisujemy tak jak napisałeś ale ostatni nie jest wektorem \(\displaystyle{ v_n}\) oznacz go sobie np \(\displaystyle{ v_n'.}\) Twoje \(\displaystyle{ (1,1), (2,2)}\) nie są liniowo niezależne czyli nie tworzą bazy.

Sposób 2)

Skąd wniosek, że \(\displaystyle{ b_{1}+b_{n}a_{1}=b_{1}}\)?
Zacznij od ostatniego współczynnika \(\displaystyle{ b_na_n=0}\) czyli \(\displaystyle{ b_n=\ldots \vee a_n=\ldots.}\)

[r4czek]

Pytanie 1: Co nam daje że określimy te wektory mianem bazy?

Sposób 1)
Tzn. widzę już rozwiązanie. Najłatwiej było mi to zauważyć na przykładzie. Mamy układ liniowo niezależnych wektorów:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}}\)
I jeden z nich podmieniamy na taką postać:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\a_{1}&a_{2}&a_{3} \end{bmatrix}}\)

No i tutaj widać że \(\displaystyle{ a_{1} \ i \ a_{2}}\) mogą być dowolne (możemy je sobie metodą eliminacji Gaussa "wyzerować"), a tylko \(\displaystyle{ a_{3}}\) musi być niezerowe. I adekwatnie w naszym przypadku \(\displaystyle{ a_{n}}\) musi być niezerowe.

Ale mam pytanie: gdzie jest błąd w rozumowaniu takim, bo musi być skoro wychodzi inny wynik =)
Skoro układ:
\(\displaystyle{ v_{1},v_{2}, \ldots ,v_{n-1},v_{n}}\) jest liniowo niezależny, a mamy układ: \(\displaystyle{ v_{1}, \ldots ,v_{n-1},a_{1}v_{1}+ \ldots +a_{n}v_{n}}\), który różni się od niego tylko jednym wektorem, to właściwie wystarczyłoby machnąć równanie że
\(\displaystyle{ v_{n}=a_{1}v_{1}+ \ldots +a_{n}v_{n}}\)

No tylko z tego wynika że
\(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}= \ldots =a_{n-1}=0 \wedge a_{n}=1}\)
Co jak już wiemy jest nieprawdą =) Błąd wynika chyba z tego że nie mogę sobie tak po prostu przyrównać tych wektorów, prawda?

Sposób 2)
To stwierdzenie wynikło mi z tego że myślałem (z tego co widzę błędnie) że mogę sobie przyrównać:
\(\displaystyle{ a_{1}v_{1}+\ldots+a_{n}v_{n}=v_{n}}\)
A wtedy miałbym:
\(\displaystyle{ b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+\ldots+b_{n-1}v_{n-1}+b_{n}v_{n}=0}\)
\(\displaystyle{ (b_1+b_na_1)v_1+\ldots+(b_{n-1}+b_na_{n-1})v_{n-1}+b_{n}a_{n}v_{n}=0}\)

No ale w takim razie skoro już stwierdziłem że takie przyrównanie jest błędne...
Tak jak mówiłeś:

Zacznij od ostatniego współczynnika

No to:
\(\displaystyle{ b_{n}=0 \vee a_{n}=0}\)
Hmm... no to tutaj właściwie są 2 przypadki:
1) \(\displaystyle{ b{n}=0}\)
No to skoro tak to \(\displaystyle{ b_{1}=b_{2}= \ldots =b_{n-1}=0}\) a \(\displaystyle{ a_{1},a_{2}, \ldots ,a_{n}}\) są dowolne.
2) \(\displaystyle{ a_{n}=0}\)
No i tutaj zaczyna się robić drzewko =P
\(\displaystyle{ b_{n-1}=0 \wedge (a_{n-1}=0 \vee b_{n}=0)}\)
itd. itd.

Niestety nie wiem jak to dalej rozwiązać =P