Pokazać, że warstwa podprzestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Pokazać, że warstwa podprzestrzeni

Post autor: adambak »

\(\displaystyle{ A\in \mathbb{K}^{m,n}, \ \vec{b}\in \mathbb{R}^m}\). Pokaż, że zbiór rozwiązań układu \(\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b}}\) jest zbiorem pustym lub warstwą podprzestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ Y=\left\{ \vec{y}\in \mathbb{R}^n : A\vec{y}=0\right\}}\)
nic mi nie przychodzi do głowy..
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Pokazać, że warstwa podprzestrzeni

Post autor: »

Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ \vec{x_0}}\) jest rozwiązaniem, czyli \(\displaystyle{ A\vec{x_0}=\vec{b}}\), to mamy:
\(\displaystyle{ A(\vec{x}-\vec{x_0})=\vec{0}}\)
czyli \(\displaystyle{ \vec{x}-\vec{x_0}}\) należy do przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\), a to w połączeniu z równością:
\(\displaystyle{ \vec{x}=(\vec{x}-\vec{x_0})+\vec{x_0}}\)
załatwia sprawę.

Q.
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Pokazać, że warstwa podprzestrzeni

Post autor: adambak »

aha, faktycznie.. a z tym co załatwia sprawę tzn: \(\displaystyle{ \vec{x}=(\vec{x}-\vec{x_0})+\vec{x_0}}\), chodzi o to, że tak otrzymujemy to przesunięcie przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\)(wiedząc pierwiej, że \(\displaystyle{ \vec{x}-\vec{x_0}\in Y}\)), a więc jej warstwę? dlatego zbiór rozwiązań układu stanowi warstwę \(\displaystyle{ Y}\).. czyli mogę zapisać, że jeśli \(\displaystyle{ \vec{x_0}}\) stanowi zbiór rozwiązań tego układu to \(\displaystyle{ \vec{x_0}=W\left(\vec{x_0} , \ Y\right)}\)?

a tą sytuację "pokaż, że zbiór rozwiązań układu jest zbiorem pustym(...)" jakoś oddzielnie zapisujemy, czy pozostawiamy w sferze oczywistych?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Pokazać, że warstwa podprzestrzeni

Post autor: »

Jeśli nie ma rozwiązań, to teza jest oczywista. Jeśli są, to weźmy jedno z nich i nazwijmy je \(\displaystyle{ \vec{x_0}}\). Wówczas okazuje się, że każde rozwiązanie \(\displaystyle{ \vec{x}}\) jest sumą tego wybranego oraz jakiegoś wektora z \(\displaystyle{ Y}\).

Q.
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Pokazać, że warstwa podprzestrzeni

Post autor: adambak »

ok, widzę że wtedy nie wychwyciłem wszystkiego, teraz jasne.. bardzo dziękuję!
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Pokazać, że warstwa podprzestrzeni

Post autor: »

Nie wychwyciłeś, bo nie napisałem precyzyjnie przed wprowadzeniem zmiennej \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ \vec{x}}\) jest dowolnym innym rozwiązaniem niż wybrane.

Warto dobrze zapamiętać ten fakt: jeśli liniowe równanie niejednorodne (czyli takie w którym \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jest niezerowe) ma rozwiązania, to każde rozwiązanie jest sumą ustalonego rozwiązania równania jednorodnego i pewnego rozwiązania równania jednorodnego (czyli takiego, w którym z prawej strony mamy wektor zerowy). Tę równość można zapisać jako:
\(\displaystyle{ RORN= RORJ + RSRN}\)
(rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego to suma rozwiązania ogólnego równania jednorodnego oraz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego)

Tak więc jeśli "jakoś" uda nam się odgadnąć jedno rozwiązanie, to szukanie ogólnego rozwiązania można sprowadzić już do równania jednorodnego. Ma to ważne konsekwencje w rozwiązywaniu liniowych równań różniczkowych oraz liniowych rekurencji - w obu wypadkach jednym z narzędzi jest metoda przewidywań, czyli instrukcja jak odgadnąć jedno rozwiązanie i tym samym sprowadzić zagadnienie do równania jednorodnego.

Q.
ODPOWIEDZ