\(\displaystyle{ A\in \mathbb{K}^{m,n}, \ \vec{b}\in \mathbb{R}^m}\). Pokaż, że zbiór rozwiązań układu \(\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b}}\) jest zbiorem pustym lub warstwą podprzestrzeni liniowej:
\(\displaystyle{ Y=\left\{ \vec{y}\in \mathbb{R}^n : A\vec{y}=0\right\}}\)
nic mi nie przychodzi do głowy..
Pokazać, że warstwa podprzestrzeni
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Pokazać, że warstwa podprzestrzeni
Zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ \vec{x_0}}\) jest rozwiązaniem, czyli \(\displaystyle{ A\vec{x_0}=\vec{b}}\), to mamy:
\(\displaystyle{ A(\vec{x}-\vec{x_0})=\vec{0}}\)
czyli \(\displaystyle{ \vec{x}-\vec{x_0}}\) należy do przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\), a to w połączeniu z równością:
\(\displaystyle{ \vec{x}=(\vec{x}-\vec{x_0})+\vec{x_0}}\)
załatwia sprawę.
Q.
\(\displaystyle{ A(\vec{x}-\vec{x_0})=\vec{0}}\)
czyli \(\displaystyle{ \vec{x}-\vec{x_0}}\) należy do przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\), a to w połączeniu z równością:
\(\displaystyle{ \vec{x}=(\vec{x}-\vec{x_0})+\vec{x_0}}\)
załatwia sprawę.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Pokazać, że warstwa podprzestrzeni
aha, faktycznie.. a z tym co załatwia sprawę tzn: \(\displaystyle{ \vec{x}=(\vec{x}-\vec{x_0})+\vec{x_0}}\), chodzi o to, że tak otrzymujemy to przesunięcie przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\)(wiedząc pierwiej, że \(\displaystyle{ \vec{x}-\vec{x_0}\in Y}\)), a więc jej warstwę? dlatego zbiór rozwiązań układu stanowi warstwę \(\displaystyle{ Y}\).. czyli mogę zapisać, że jeśli \(\displaystyle{ \vec{x_0}}\) stanowi zbiór rozwiązań tego układu to \(\displaystyle{ \vec{x_0}=W\left(\vec{x_0} , \ Y\right)}\)?
a tą sytuację "pokaż, że zbiór rozwiązań układu jest zbiorem pustym(...)" jakoś oddzielnie zapisujemy, czy pozostawiamy w sferze oczywistych?
a tą sytuację "pokaż, że zbiór rozwiązań układu jest zbiorem pustym(...)" jakoś oddzielnie zapisujemy, czy pozostawiamy w sferze oczywistych?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Pokazać, że warstwa podprzestrzeni
Jeśli nie ma rozwiązań, to teza jest oczywista. Jeśli są, to weźmy jedno z nich i nazwijmy je \(\displaystyle{ \vec{x_0}}\). Wówczas okazuje się, że każde rozwiązanie \(\displaystyle{ \vec{x}}\) jest sumą tego wybranego oraz jakiegoś wektora z \(\displaystyle{ Y}\).
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Pokazać, że warstwa podprzestrzeni
Nie wychwyciłeś, bo nie napisałem precyzyjnie przed wprowadzeniem zmiennej \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ \vec{x}}\) jest dowolnym innym rozwiązaniem niż wybrane.
Warto dobrze zapamiętać ten fakt: jeśli liniowe równanie niejednorodne (czyli takie w którym \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jest niezerowe) ma rozwiązania, to każde rozwiązanie jest sumą ustalonego rozwiązania równania jednorodnego i pewnego rozwiązania równania jednorodnego (czyli takiego, w którym z prawej strony mamy wektor zerowy). Tę równość można zapisać jako:
\(\displaystyle{ RORN= RORJ + RSRN}\)
(rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego to suma rozwiązania ogólnego równania jednorodnego oraz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego)
Tak więc jeśli "jakoś" uda nam się odgadnąć jedno rozwiązanie, to szukanie ogólnego rozwiązania można sprowadzić już do równania jednorodnego. Ma to ważne konsekwencje w rozwiązywaniu liniowych równań różniczkowych oraz liniowych rekurencji - w obu wypadkach jednym z narzędzi jest metoda przewidywań, czyli instrukcja jak odgadnąć jedno rozwiązanie i tym samym sprowadzić zagadnienie do równania jednorodnego.
Q.
Warto dobrze zapamiętać ten fakt: jeśli liniowe równanie niejednorodne (czyli takie w którym \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jest niezerowe) ma rozwiązania, to każde rozwiązanie jest sumą ustalonego rozwiązania równania jednorodnego i pewnego rozwiązania równania jednorodnego (czyli takiego, w którym z prawej strony mamy wektor zerowy). Tę równość można zapisać jako:
\(\displaystyle{ RORN= RORJ + RSRN}\)
(rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego to suma rozwiązania ogólnego równania jednorodnego oraz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego)
Tak więc jeśli "jakoś" uda nam się odgadnąć jedno rozwiązanie, to szukanie ogólnego rozwiązania można sprowadzić już do równania jednorodnego. Ma to ważne konsekwencje w rozwiązywaniu liniowych równań różniczkowych oraz liniowych rekurencji - w obu wypadkach jednym z narzędzi jest metoda przewidywań, czyli instrukcja jak odgadnąć jedno rozwiązanie i tym samym sprowadzić zagadnienie do równania jednorodnego.
Q.