Dla jakich wartości układ liniowo niezależny jest

[adambak]

W przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) dane są liniowo niezależne wektory \(\displaystyle{ \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}}\). Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{K}}\) układ wektorów:
\(\displaystyle{ a\vec{x}-b\vec{y}, \ c\vec{y}-a\vec{z}, \ b\vec{z}-c\vec{x}}\) jest liniowo niezależny?
no i.. trochę wstyd ale nie wiem jak to rozumieć.. czyli skoro układ ma być liniowo niezależny to musi zachodzić:
\(\displaystyle{ \alpha(a\vec{x}-b\vec{y})+\beta(c\vec{y}-a\vec{z}) + \gamma(b\vec{z}-c\vec{x})=0 \Leftrightarrow \alpha=\beta=\gamma=0}\)

i wstyd bo technicznie sobie nie radzę.. mam znaleźć te \(\displaystyle{ a,b,c}\) dla których to zachodzi, a jeszcze doszły \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) i coś za dużo się zrobiło, nie wiem co z czego wyznaczyć i gdzie wykorzystać..

[Psiaczek]

Strzałki nad literami sobie daruję,

jeżeli wszystkie trzy \(\displaystyle{ a,b,c \in K}\) są równe zero , to nowy układ składa się z trzech wektorów zerowych i jest liniowo zależny. A jesli tak nie jest i przykładowo \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to zauważ że masz nietrywialną kombinację która się zeruje:

\(\displaystyle{ \frac{c}{a}(ax-by)+ \frac{b}{a} (cy-az)+1(bz-cx)=0}\)

więc i w tym wypadku są liniowo zależne.

[adambak]

ale nie rozumiem.. pytanie było dla jakich wartości \(\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{K}}\) nowy układ jest liniowo niezależny.. a nie liniowo zależny..

[miki999]

No i:

\(\displaystyle{ \alpha(a\vec{x}-b\vec{y})+\beta(c\vec{y}-a\vec{z}) + \gamma(b\vec{z}-c\vec{x})=0 \Leftrightarrow \alpha=\beta=\gamma=0}\)

nie jest spełnione, bo dla niezerowych \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\), jakie zaproponował Psiaczek, równość zachodzi.

Należy wysunąć wniosek, ale specjalnie go nie piszę, by dać szansę Ci się wykazać

[adambak]

aha, czyli nie ma takich \(\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{K}}\) dla których ten nowy układ jest liniowo niezależny.. zawsze jest liniowo zależny?

[miki999]

Zgadza się.