macierze obrotu wokół osi x, y, z

matematix · Post autor: **matematix** » 11 lis 2011, o 21:37

Witam
Jakie są macierze obrotu wokół osi \(\displaystyle{ OY}\) i \(\displaystyle{ OZ}\) o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) ? Czy macierz obrotu wokół osi \(\displaystyle{ OX}\) o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{3}}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0 &\cos \alpha & \sin \alpha \\ 0&-\sin \alpha&\cos\alpha\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \ ?}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 11 lis 2011, o 22:29

A to zależy, w którą stronę obracasz i jaką masz orientację układu ale zasadniczo jest to rozszerzenie współrzędnych biegunowych - a więc tak to wygląda.

Pozdrawiam.

matematix · Post autor: **matematix** » 11 lis 2011, o 23:46

BettyBoo pisze:A to zależy, w którą stronę obracasz i jaką masz orientację układu ale zasadniczo jest to rozszerzenie współrzędnych biegunowych - a więc tak to wygląda.

Pozdrawiam.

No to jak wyglądają wtedy te macierze, jeśli jest to rozszerzenie współrzędnych biegunowych?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 12 lis 2011, o 00:34

matematix pisze:No to jak wyglądają wtedy te macierze, jeśli jest to rozszerzenie współrzędnych biegunowych?

Dla obrotu wokół osi \(\displaystyle{ OX}\) jest tak, jak piszesz wyżej - przy założeniu, że obrót jest w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i układ jest prawoskrętny (ewentualnie: że obrót jest zgodnie z ruchem wskazówek zegara i układ jest lewoskrętny).

Dla obrotu wokół \(\displaystyle{ OY}\) (przy tych samych założeniach co dla \(\displaystyle{ OX}\)) masz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0&\sin \alpha \\ 0&1&0\\ -\sin \alpha&0&\cos\alpha\end{bmatrix}}\), dla \(\displaystyle{ OZ}\) już chyba sam wymyślisz

Pozdrawiam.

matematix · Post autor: **matematix** » 12 lis 2011, o 17:07

A więc dla obrotu wokół osi \(\displaystyle{ OZ}\) macierz tego przekształcenia ma postać: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} cos \alpha&sin \alpha&0\\-sin \alpha&cos \alpha&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\). Dobrze?
Jeśli tak, to znowu idę do wykładowcy się kłucić

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 12 lis 2011, o 18:51

A to już się z nim pokłóciłeś? Skoro obrót jest wokół osi \(\displaystyle{ OZ}\), to \(\displaystyle{ z}\)-towa współrzędna punktu po obrocie się nie zmieni, a pozostałe dwie zmienią się tak samo, jak w obrocie na płaszczyźnie - i dlatego ta macierz tak wygląda.

Jak pisałam wyżej, to zależy od przyjętych założeń odnośnie obrotu.

Pozdrawiam.