Pokaż, że podprzestrzeń liniowa i znajdź bazę

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Pokaż, że podprzestrzeń liniowa i znajdź bazę

Post autor: adambak »

W \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n,n}}\) dany jest podzbiór:

\(\displaystyle{ V=\left\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{5} : x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0 \right\}}\)

Pokaż, że \(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią liniową i znajdź bazę \(\displaystyle{ V}\)..


jest podprzestrzenią, bo dla danych dwóch wektorów w tej podprzestrzeni wszystkie wersory się sumują do zera a więc w ich sumie też.. tak samo będzie z mnożeniem przez skalar (wykłączy się go przed nawias).. ale co do bazy to mma pytanko:

jak mamy \(\displaystyle{ \vec{x}\in V}\) to wtedy \(\displaystyle{ x_1=-x_2-x_3-x_4-x_5}\), a więc:

\(\displaystyle{ \vec{x}=\left[\begin{array}{ccccc}-x_2&-x_3& &-x_4&-x_5\\& &x_2\\& &x_3\\& &x_4\\& &x_5\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}-1\\1\\0\\0\\0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\\0\\0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\\0\end{array}\right]+x_5\left[\begin{array}{c}-1\\0\\0\\0\\1\end{array}\right]}\)

a więc pewnie te cztery wektory z jedynkami są bazą tej podprzestrzeni, tylko.. jak sprawdzić czy rozpinają całą przestrzeń? no bo czy są liniowo niezależne to mogę sprawdzić, choć to też będzie żmudne, bo 5 równań, jest szybsza metoda? nie jest to macierz kwadratowa, inaczej bym coś kombinował z wyznacznikiem..

-- 11 lis 2011, o 20:26 --

wydaje mi się, że argumentem na liniową niezależność będzie to, że nigdy nie da się wyzerować (inaczej niż zerowym współczynnikiem) \(\displaystyle{ i}\)-tego wiersza, w macierzy złożonej z tych czterech wektorów.. bo to bardzo przypomina taki najprostszy układ.. współrzędnych jakby w przestrzeni.. jednak do pytania jak sprawdzić że rozpinają one całą tą podprzestrzeń nie wiem jak podejść..
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

Pokaż, że podprzestrzeń liniowa i znajdź bazę

Post autor: octahedron »

Ale to już przecież jest pokazane - że dowolny wektor z podprzestrzeni da się rozłożyć na kombinację liniową wektorów bazowych
adambak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1272
Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 295 razy
Pomógł: 115 razy

Pokaż, że podprzestrzeń liniowa i znajdź bazę

Post autor: adambak »

nawet nie wiedziałem, że pokazałem dzięki, czyli zadanko zrobione..-- 11 lis 2011, o 21:13 --no tak bo w sumie przestrzeń może mieć wiele baz.. udało mi się pokazać jedną z nich, tylko jednym można było się martwić chyba - czy jest to układ liniowo niezależny, ale to też pokazałem.. ok, dzięki !
ODPOWIEDZ