Witam
Mam zadanie, które składa się z dwóch części:
1) Mam rozwiązać ten układ z użyciem macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-2y=1\\2x+3z=1\\x+2y+3z=0\\-x+4y+2z=3 \end{cases}}\)
R(A) wychodzi 3, R(B) też 3, czyli mamy jedno rozwiązanie tego układu. Wyszło mi:
\(\displaystyle{ x=-13, y=-7, z=9}\)
2) W drugiej części zadania muszę rozważyć liczbę rozwiązań w zależności od parametru \(\displaystyle{ \lambda}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-2y=1\\2x+3z=1\\x+2y+3z=0\\-x+4y+\lambda z=3 \end{cases}}\)
No i tu mi się chyba trochę pogmatwało. Wyszło mi tutaj z twierdzenia Kroneckera-Capellego, że gdy:
\(\displaystyle{ \lambda = \frac{3}{2}}\) układ nie ma rozwiązań (Bo \(\displaystyle{ R(A)<R(B)}\)). Nastomiast gdy:
\(\displaystyle{ \lambda \neq \frac{3}{2}}\) układ ma 1 rozwiązanie (\(\displaystyle{ R(A)=R(B)=n}\)). Domyślam się, że dla \(\displaystyle{ \lambda =2}\) - tak jak w pierwszej części polecenia. A co z pozostałymi "lambdami", tj \(\displaystyle{ \neq 2}\) i \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)? Też nie ma rozwiązań?
układ równań z parametrem - macierz
-
tommasz
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 17 sie 2011, o 11:27
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
układ równań z parametrem - macierz
Spróbuj rozwiązać ten układ równań tak jak w pierwszym przykładzie. Traktuj \(\displaystyle{ \lambda}\) jako liczbę (tak jak w pierwszym przykładzie to była 2). Postępuj tak samo jak w przykładzie. Wynik będzie zależał od \(\displaystyle{ \lambda}\).
-
makkam121
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 10 gru 2009, o 15:37
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 11 razy
układ równań z parametrem - macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\2&0&3&|&1\\1&2&3&|&0\\-1&4&\lambda&|&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&4&3&|&-1\\0&4&3&|&-1\\-1&4&\lambda&|&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&4&3&|&-1\\-1&4&\lambda&|&3\end{bmatrix}=}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&4&3&|&-1\\0&2&\lambda&|&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&4&3&|&-1\\0&2&\lambda- \frac{3}{2} &|& \frac{9}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&4&3&|&-1\\0&0&1&|& \frac{9}{2\lambda-3} \end{bmatrix}=}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&4&0&|& -\frac{2\lambda+24}{2\lambda-3} \\0&0&1&|& \frac{9}{2\lambda-3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&1&0&|& -\frac{\lambda+12}{4\lambda-6} \\0&0&1&|& \frac{9}{2\lambda-3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&|& \frac{\lambda-15}{2\lambda-3} \\0&1&0&|& -\frac{\lambda+12}{4\lambda-6} \\0&0&1&|& \frac{9}{2\lambda-3} \end{bmatrix}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ x=\frac{\lambda-15}{2\lambda-3}, y=-\frac{\lambda+12}{4\lambda-6}, z=\frac{9}{2\lambda-3}}\)
Czy teraz muszę rozważyć równanie przy pomocy twierdzenia Kroneckera-Capellego? Czy mogę już stwierdzić, że jest jest jedno rozwiązanie takiego układu dla każdego \(\displaystyle{ \lambda \in R}\) z wyjątkiem \(\displaystyle{ \lambda=\frac{3}{2}}\)?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&4&3&|&-1\\0&2&\lambda&|&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&4&3&|&-1\\0&2&\lambda- \frac{3}{2} &|& \frac{9}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&4&3&|&-1\\0&0&1&|& \frac{9}{2\lambda-3} \end{bmatrix}=}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&4&0&|& -\frac{2\lambda+24}{2\lambda-3} \\0&0&1&|& \frac{9}{2\lambda-3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-2&0&|&1\\0&1&0&|& -\frac{\lambda+12}{4\lambda-6} \\0&0&1&|& \frac{9}{2\lambda-3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&|& \frac{\lambda-15}{2\lambda-3} \\0&1&0&|& -\frac{\lambda+12}{4\lambda-6} \\0&0&1&|& \frac{9}{2\lambda-3} \end{bmatrix}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ x=\frac{\lambda-15}{2\lambda-3}, y=-\frac{\lambda+12}{4\lambda-6}, z=\frac{9}{2\lambda-3}}\)
Czy teraz muszę rozważyć równanie przy pomocy twierdzenia Kroneckera-Capellego? Czy mogę już stwierdzić, że jest jest jedno rozwiązanie takiego układu dla każdego \(\displaystyle{ \lambda \in R}\) z wyjątkiem \(\displaystyle{ \lambda=\frac{3}{2}}\)?
-
tommasz
- Użytkownik
- Posty: 54
- Rejestracja: 17 sie 2011, o 11:27
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
układ równań z parametrem - macierz
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego jest bardzo proste i można to od razu zobaczyć, że warunki są spełnione, ponieważ rzędy macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0& \\0&1&0& \\0&0&1& \end{bmatrix}}\)
i macierzy dopełnionej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&|& \frac{\lambda-15}{2\lambda-3} \\0&1&0&|& -\frac{\lambda+12}{4\lambda-6} \\0&0&1&|& \frac{9}{2\lambda-3} \end{bmatrix}}\)
natychmiastowo widać, że są sobie równe i wynoszą 3 (czyli tyle ile wynosi wymiar przestrzeni), a więc układ ma jednoznaczne rozwiązanie. Więc tutaj nie ma co się zastanawiać. Choć po wyniku też widać, że dostajesz jednoznaczne rozwiązanie dla \(\displaystyle{ \lambda \neq \frac{3}{2}}\).
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0& \\0&1&0& \\0&0&1& \end{bmatrix}}\)
i macierzy dopełnionej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&|& \frac{\lambda-15}{2\lambda-3} \\0&1&0&|& -\frac{\lambda+12}{4\lambda-6} \\0&0&1&|& \frac{9}{2\lambda-3} \end{bmatrix}}\)
natychmiastowo widać, że są sobie równe i wynoszą 3 (czyli tyle ile wynosi wymiar przestrzeni), a więc układ ma jednoznaczne rozwiązanie. Więc tutaj nie ma co się zastanawiać. Choć po wyniku też widać, że dostajesz jednoznaczne rozwiązanie dla \(\displaystyle{ \lambda \neq \frac{3}{2}}\).