Macierz operatora

[tommasz]

W przestrzeni liniowej n-wymiarowej dana jest baza nieortogonalna \(\displaystyle{ e_1, e_2,....,e_n}\) taka, że \(\displaystyle{ (e_i,e_j)=S_{ij}}\) oraz pewien operator \(\displaystyle{ A}\) dla którego obliczono "elementy macierzowe" \(\displaystyle{ \alpha _{ij}=(Ae_i,e_j)}\). Znaleźć macierz A operatora \(\displaystyle{ A}\) w bazie \(\displaystyle{ e_i}\).

W ogóle nie rozumiem treści zadania. Jakby ktoś mi przybliżył sam problem, o co chodzi w tym zadaniu to byłbym wdzięczny.

[szw1710]

\(\displaystyle{ (u,v)}\) oznacza iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ u,v}\). Zatem \(\displaystyle{ S_{ij}}\) jest iloczynem skalarnym wektorów \(\displaystyle{ e_i,\,e_j.}\) Teraz obliczamy \(\displaystyle{ Ae_i}\), co też jest wektorem \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowym i można policzyć iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \alpha_{ij}=(Ae_i,e_j).}\)

Twoim zadaniem jest określenie macierzy operatora. W \(\displaystyle{ k}\)-tej kolumnie tej macierzy występują współrzędne (w bazie przeciwdziedziny) obrazu wektora bazowego \(\displaystyle{ e_k}\), czyli wektora \(\displaystyle{ A(e_k).}\) Czasem zamiast \(\displaystyle{ A(e_k)}\) pisze się \(\displaystyle{ Ae_k.}\) Ta notacja jest obecna w Twoim poście. Zastanów się, jaka baza obowiązuje w przeciwdziedzinie. Zapewne ta sama, co i w dziedzinie.

Musisz więc dysponując iloczynami skalarnymi \(\displaystyle{ S_{ij}}\) oraz liczbami \(\displaystyle{ \alpha_{ij}}\) spróbować wyznaczyć obrazy wektorów \(\displaystyle{ e_1,\dots,e_n,}\) czyli \(\displaystyle{ A(e_1),\dots,A(e_n).}\)

Spróbuj wziąć przestrzeń dwuwymiarową, powiedzmy ze standardowym iloczynem skalarnym i bazą np. \(\displaystyle{ e_1=(1,0),\;e_2=(1,1).}\) Zadaj sobie jakiś operator liniowy i powyliczaj "elementy macierzowe", tak dla ćwiczenia. Teraz zadaj sobie jakieś inne elementy macierzowe i spróbuj dobrać do nich operator. Konkretne liczby dadzą Ci jakąś intuicję.

To chyba to, o co prosiłeś: nie rozwiązanie, ale zarysowanie problemu.

[tommasz]

Masz racje, daje mi to jakąś intuicję.

Pierwsze co sobie uświadomiłem, to że nie wiem co to jest operator. Czy jest to to samo co przekształcenie liniowe? Bo książki do algebry liniowej milczą, a w książce do chemii kwantowej mam definicję podobną i wolę się upewnić.

EDIT:

Operator liniowy to inaczej odwzorowanie liniowe

Drugie pytanie tyczy się samego zadania. Zrobiłem tak jak mówiłeś.
\(\displaystyle{ A(x_1,x_2)=(x_1-x_2,x_1+x_2)}\)
\(\displaystyle{ e_1=(1,0), \ e_2=(1,1)}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} (Ae_1,e_1)&(Ae_1,e_2)\\(Ae_2,e_1)&(Ae_2,e_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ((1,1),e_1)&((1,1),e_2)\\((0,2),e_1)&((0,2),e_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2\\0&2\end{bmatrix}}\)
No dobrze dało mi jakąś intuicję, ale teraz jest problem w drugą stronę. Weźmy sobie takie elementy macierzowe, że tworzą macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\0&2\end{bmatrix}}\)
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} (Ae_1,e_1)&(Ae_1,e_2)\\(Ae_2,e_1)&(Ae_2,e_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2\\0&2\end{bmatrix}}\)
I tutaj pojawia się prawie od razu problem, bo dla przypadku gdy wiem, że mam iloczyn skalarny standardowy i mam przestrzeń dwuwymiarową to jest wszystko ok, da się to zrobić w skończonej ilości kroków. Gorzej już gdy przestrzeń będzie n wymiarowa wtedy dostanę straszne ilości równań (i to w dodatku przy założeniu iloczynu skalarnego standardowego, już nie mówiąc o takim przypadku jaki mam zadany)....

[fon_nojman]

Myślę, że pomocne w tym zadaniu będzie zortogonalizowanie wektorów \(\displaystyle{ e_1, e_2,....,e_n.}\)

[tommasz]

Hmm, próbowałem i to nie za bardzo coś daje - weźmy ten sam przykład tylko z inną bazą - ortogonalną:
\(\displaystyle{ e_1=(1,1) \ e_2=(1,-1)}\)
Ten sam operator co wcześniej

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} (Ae_1,e_1)&(Ae_1,e_2)\\(Ae_2,e_1)&(Ae_2,e_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ((0,2),e_1)&((0,2),e_2)\\((2,0),e_1)&((2,0),e_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&-2\\2&2\end{bmatrix}}\)

No i i tak w tym przypadku nie potrafię zrobić to w drugą stronę. Może czegoś nie widzę...

[fon_nojman]

To nie jest macierz operatora, byłaby taka gdyby baza była ortonormalna.

Zróbmy przypadek dwuwymiarowy gdy baza będzie ortogonalna, elementy macierzy operatora \(\displaystyle{ [t_{ij}]}\) wyliczamy z równań

\(\displaystyle{ Ae_1=t_{11}e_1+t_{21}e_2}\)

\(\displaystyle{ Ae_2=t_{12}e_1+t_{22}e_2}\)

jak je wyliczyć?

[tommasz]

Przyznam szczerze, że nie za bardzo rozumiem, czy baza, którą podałem \(\displaystyle{ e_1=(1,1) \ e_2=(1,-1)}\) nie jest ortogonalna? Wydaje mi się że jest. Rozumiem, że podałeś mi szczególną bazę ( \(\displaystyle{ e_1=(1,0), \ e_2=(0,1)}\)), lecz skąd ja taką bazę mogę znaleźć?

[szw1710]

Jest ortogonalna w standardowym iloczynie skalarnym.

[tommasz]

Dalej nie rozumiem, nawet jak jest standardowy iloczyn skalarny to jakoś tak średnio mi się wydaje, że działa... hmm.. chyba że nie rozumiem co to jest baza do końca.. no nie wiem... wektory bazowe zawsze mają współrzędne takie, że \(\displaystyle{ e_i=(0,0,...0,1,0...0,0)}\), gdzie 1 jest na \(\displaystyle{ i}\)-tym miejscu?

Ale odtąd (wydaje mi się, ze zobaczyłem błąd więc poprawione (edit: źle poprawione, było dobrze)):

\(\displaystyle{ Ae_1=t_{11}e_1+t_{21}e_1}\)

\(\displaystyle{ Ae_2=t_{12}e_2+t_{22}e_2}\)

jest już prosto:

\(\displaystyle{ (Ae_1,e_1)=(t_{11}e_1+t_{21}e_1,e_1)=t_{11}(e_1,e_1)+t_{21}(e_1,e_1)=t_{11}S_{11}+t_{21}S_{11}= \alpha _{12}}\)

No i tak samo z resztą \(\displaystyle{ \alpha _{ij}}\) - dostaje 4 równania, 4 niewiadome, rozwiązanie jednoznaczne itp. itd.

[fon_nojman]

Tam nie ma błędu. Wektor \(\displaystyle{ Ae_1}\) jest elementem z przestrzeni rozpiętej przez \(\displaystyle{ e_1,e_2}\) czyli jest postaci \(\displaystyle{ Ae_1=t_{11}e_1+t_{21}e_2,}\) analogicznie \(\displaystyle{ Ae_2.}\)

Nie podawałem żadnych szczególnych baz