Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy, pewna regularność

[djlinux]

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 5&3&0&...&0\\2&5&3&...&0\\0&2&5&...&0\\...&...&...&...&3\\0&0&0&...&5\end{vmatrix}}\)

Można zauważyć, że \(\displaystyle{ det_{n} = 5 det_{n-1} - 6 det_{n-2}}\), gdzie \(\displaystyle{ det_{n}}\)to wartość wyznacznika owej macierzy stopnia n-tego

Nie wiem jak dojść do wzoru na wartość wyznacznika n-tego stopnia z powyższej macierzy, proszę o jakieś wskazówki.

Poprawiłem błędy przy przepisywaniu.

[Qń]

Chyba źle przepisałeś macierz - nad przekątną powinny być chyba same trójki, a pod przekątną same dwójki. Jeśli tak, to równanie będzie wyglądało tak:
\(\displaystyle{ det_n=5det_{n-1}-6det_{n-2}}\)
Rozwiązać je można na przykład przy użyciu równania charakterystycznego \(\displaystyle{ t^2=5t-6}\), z którego wynika, że \(\displaystyle{ det_n}\) jest postaci \(\displaystyle{ A\cdot 2^n+B\cdot 3^n}\) dla pewnych stałych \(\displaystyle{ A,B}\).

Q.

[djlinux]

\(\displaystyle{ det_n=5det_{n-1}-6det_{n-2}}\)
Rozwiązać je można na przykład przy użyciu równania charakterystycznego \(\displaystyle{ t^2=5t-6}\), z którego wynika, że \(\displaystyle{ det_n}\) jest postaci \(\displaystyle{ A\cdot 2^n+B\cdot 3^n}\) dla pewnych stałych \(\displaystyle{ A,B}\).

Q.

Mógłbyś rozwinąć dlaczego w taki sposób do tego podejść, nie bardzo rozumiem ten sposób rozwiązania?
Co do literówki, poprawiłem.

[Qń]

Jeśli nie rozwiązywałeś nigdy liniowych rekurencji, to poczytaj o tym, na przykład w Kompendium:
25578.htm
albo na Wikipedii:


Q.

[djlinux]

Dzięki, tego potrzebowałem.
Jak mógłbyś podrzucić jakiś podobny przykład z obliczaniem wyznacznika z macierzy, gdzie również trzeba rozwiązać liniowe równanie rekurencyjne, byłbym wdzięczny (chętnie poćwiczę)