Rozszerzanie wektorów do bazy przestrzeni

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
r4czek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 18 paź 2011, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Rozszerzanie wektorów do bazy przestrzeni

Post autor: r4czek »

Mam problem z pewnym zadaniem i to niemały bo właściwie brakuje mi podstaw od jego rozwiązania. Mam jednak nadzieję że pomożecie!

Podany układ wektorów rozszerzyć do bazy całej przestrzeni:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,1,1\right] ^{T}, \left[ 1,2,1,2 \right] ^{T} \right\}}\)

Super, zaglądam do definicji bazy:
Układ wektorów \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) nazywamy bazą przestrzeni liniowej V, jeśli:
-układ \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) jest liniowo niezależny,
-układ \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) generuje przestrzeń V, czyli \(\displaystyle{ V=L(\mathcal{B})}\)
Wiem już na czym polega liniowa niezależność i zależność. Zastanawia mnie tylko jedna rzecz. Skoro ten układ wektorów muszę rozszerzyć do bazy całej przestrzeni, to muszę do tego układu dopisać jakieś dodatkowe wektory. W takim razie nic mi nie da jeżeli teraz sprawdzę czy te dwa są liniowo niezależne, bo dojdą mi jeszcze jakieś kolejne, prawda?

Kolejne pytanie: co to znaczy że coś generuje przestrzeń? Zagłębiam się dalej wstecz i odnajduję coś na temat "zbioru generatorów". Czy dobrze zawędrowałem? Proszę o dalsze wskazówki i podpowiedzi!
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Rozszerzanie wektorów do bazy przestrzeni

Post autor: alfgordon »

dobierasz dwa wektory takie by wyznacznik złożony z tych wektorów był różny od zera ( wtedy te wektory są liniowo niezależne)
więc np takie dwa wektory \(\displaystyle{ (0,0,1,0),(0,0,0,1)}\)


aby sprawdzić czy takie wektory generują tą przestrzeń, wyznaczasz z tego równania:
\(\displaystyle{ \alpha (1,1,1,1) +\beta (1,2,1,2) +\gamma (0,0,1,0) +\delta (0,0,0,1) =(x,y,z,t)}\)

\(\displaystyle{ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta}\)

i sprawdzasz czy są one jednoznacznie określone
r4czek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 18 paź 2011, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Rozszerzanie wektorów do bazy przestrzeni

Post autor: r4czek »

Dobra, zapisałem te wektory pod postacią macierzy rozszerzonej i przekształciłem:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&0&0&|x\\1&2&0&0&|y\\1&1&1&0&|z\\1&2&0&1&|z\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1&1&0&0&|x\\0&1&0&0&|y-x\\0&0&1&0&|z-x\\0&0&0&1&|t-y\end{bmatrix}}\)

Tzn. podobnie mieliśmy na ćwiczeniach i były dwa przypadki po przekształceniach:
1) Jak powstała właśnie taka macierz schodkowa
2) Jak powstała macierz, ale taka że jeden z wierszy wyglądał następująco: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&0&x-y\end{bmatrix}}\)

Czy to oznacza że w 1. przypadku mamy wektory jednoznacznie określone a w drugim nie? I na tej zasadzie to się rozróżnia?
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Rozszerzanie wektorów do bazy przestrzeni

Post autor: alfgordon »

masz jednoznacznie określone \(\displaystyle{ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta}\):
bo z tego układu wychodzi, że:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha =2x-y \\ \beta =y-x \\ \gamma = z-x \\ \delta =t-y \end{cases}}\)

więc te wektory generują przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R }^4}\) i wektory są liniowo niezależne (wyznacznik jest różny od zera) więc znaleźliśmy bazę
r4czek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 18 paź 2011, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Rozszerzanie wektorów do bazy przestrzeni

Post autor: r4czek »

Dobra, mam bliźniaczy przykład:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[ 1,1,2,1,1\right] ^{T}, \left[ 1,2,3,1,1\right] ^{T}, \left[ 1,2,4,2,1\right] ^{T} \right\}}\)
Dopisałem sobie do niego kolejne wektory:
\(\displaystyle{ (0,0,0,1,0) \ i \ (0,0,0,0,1)}\)
Wyznacznik macierzy jest różny od 0, więc układ jest liniowo niezależny. Podobnie jak wcześniej wyznaczyłem \(\displaystyle{ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\theta}\) na podstawie (x,y,z,t,h) i mi wyszło:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=-y+2x \\ \beta=y \\ \gamma=-x \\ \delta=t \\ \theta=h-x \end{cases}}\)

Pozwoliłem sobie na skrócony zapis w naiwnej nadziei że wszystko jest dobrze, jak wynik jest nie taki jak potrzeba to oczywiście zapiszę pełne rachunki i rozumowanie =)-- 9 lis 2011, o 18:35 --PS Przestrzeń jaką generują wektory tak mówiąc nieprofesjonalnie zależy od tego jak duża jest macierz ustawiona z wektorów generujących daną przestrzeń? Jak jest 5x5 to będą generowały \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{5}}\) jak 8x8 to \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{8}}\) itd.?
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Rozszerzanie wektorów do bazy przestrzeni

Post autor: alfgordon »

zadanie dobrze zrobione,

Baza w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) ma mieć \(\displaystyle{ n}\) wektorów, więc jak masz uzupełnić do \(\displaystyle{ \mathbb{R}^5}\) a masz dwa wektory to musisz jeszcze trzy wektory znaleźć
r4czek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 18 paź 2011, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Rozszerzanie wektorów do bazy przestrzeni

Post autor: r4czek »

Jej, to super! To mam jeszcze jedno pytanie: czy zawsze jestem w stanie tak dobrać wektory aby utworzyć bazę? Ach, i skoro muszę mieć \(\displaystyle{ n}\) wektorów, to też te wektory muszą mieć \(\displaystyle{ n}\) "elementów" każdy?

-- 9 lis 2011, o 19:01 --

I właściwie mam jeszcze jedną wątpliwość. Co oznacza że te zmienne są "jednoznacznie określone"? Mógłbyś podać jakiś przykład tak aby nie były? Bo nie do końca to widzę =(

-- 9 lis 2011, o 19:09 --

Choć sekundkę, chyba jednak widzę... Jeżeli zapiszę wektory w macierzy i jakaś ze zmiennych \(\displaystyle{ \alpha ,\beta}\) czy co tam jeszcze wystąpi mi w ostatecznym układzie równań dwukrotnie to nie jest jednoznacznie oznaczona, prawda?

Nawet jak wezmę wektory (0,1), (1,1) i (1,0) to doprowadzę do formy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha = x \\ \beta = y-x \\ \beta=z \end{cases}}\)
Czyli mam niejednoznaczne określone =)
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Rozszerzanie wektorów do bazy przestrzeni

Post autor: alfgordon »

\(\displaystyle{ (1,0),(2,0)}\)

nie wygenerują całej przestrzeni w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)
wektory muszą mieć "elementów" każdy?
tak, muszą
czy zawsze jestem w stanie tak dobrać wektory aby utworzyć bazę?


edit:
tak, wektor \(\displaystyle{ (1,1)=(1,0)+(0,1)}\)
więc jest liniowo zależny
r4czek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 18 paź 2011, o 20:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Rozszerzanie wektorów do bazy przestrzeni

Post autor: r4czek »

Więcej grzechów nie pamiętam! Dziękuję bardzo za pomoc =)

Pozdrawiam!
ODPOWIEDZ