przekształcenie odwrotne - definicja

[matematix]

Witam
\(\displaystyle{ m _{1}}\), \(\displaystyle{ m_{2}}\) - macierze 3x3
Czy z tego, że \(\displaystyle{ m _{1} \cdot m_{2}=Id}\) wynika, że \(\displaystyle{ m _{2} \cdot m_{1}=Id}\), gdzie \(\displaystyle{ Id}\) - identyczność? Bo nie wiem czy mam sprawdzać dwa warunki, czy tylko jeden, gdy chcę sprawdzić z definicji, że jakieś przekstałcenie jest odwracalne.

[fon_nojman]

sorki glupoty napisalem. Taki warunek wystarczy, przyloz wyznacznik ,wtedy widac.

[matematix]

A mógłbyś podać jakiś przykład macierzy m, dla której zachodzi jeden z tych warunków, a drugi nie zachodzi?

[norwimaj]

Taki warunek wystarczy, przyloz wyznacznik ,wtedy widac.

Możesz rozwinąć tę myśl? Jak z przyłożenia wyznacznika wynika teza?

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ det(m_1) det(m_2)=det(m_1\cdot m_2)=det(Id)=1}\)

czyli macierze \(\displaystyle{ m_1, m_2}\) są nieosobliwe, zatem posiadają macierze odwrotne.

\(\displaystyle{ m_1 \cdot m_2=Id\ //m_2^{-1}}\)

\(\displaystyle{ m_1=m_2^{-1}}\)

czyli także \(\displaystyle{ m_2\cdot m_1=Id.}\)

PS: Rozważam macierze nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}.}\)

[norwimaj]

Myślałem, że skoro chodzi o udowodnienie jednego z podstawowych faktów, to nie korzystamy z takich armat (jeśli wyznacznik macierzy jest różny od zera, to macierz jest odwracalna), ale niech tak będzie.

Uwaga o ciele \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nie jest potrzebna. Nigdzie z tego nie korzystasz.

[fon_nojman]

Pewnie można bez wyznacznika ale takie szybkie rozwiązanie mi się narzuciło.

Korzystam z ciała \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (pewnie można tak samo dla dowolnego pierścienia przemiennego) np tw Cauchy'ego dla wyznaczników, \(\displaystyle{ a\cdot b=1 \Rightarrow a,b \neq 0.}\)

[matematix]

W skrypcie, z którego korzystam pisze: "Istnieją nieodwracalne przekształcenia \(\displaystyle{ T}\), dla których istnieje przekształcenie \(\displaystyle{ S}\), takie że \(\displaystyle{ TS = I}\), ale \(\displaystyle{ ST \neq I}\)", więc chyba można podać przykład takiego przekształcenia.

[fon_nojman]

A dokładniej to czym są \(\displaystyle{ T,S}\)? Jaka jest ich dziedzina i przeciwdziedzina?

[matematix]

A dokładniej to czym są \(\displaystyle{ T,S}\)? Jaka jest ich dziedzina i przeciwdziedzina?

To było w zasadzie napisane jako ciekawostka i dodane: "Przekształceniami takimi nie będziemy się jednak tutaj zajmować", więc nie wiem co dokładnie autorzy mieli na myśli.

[fon_nojman]

Widać jak można kombinować np rozważać macierze nad pierścieniami nieprzemiennymi albo rozważać przestrzenie nieskończonego wymiaru, przykład z wikipedii:

Dla odwzorowań określonych na przestrzeni wielomianów zdefiniowanych przez swoje działanie na jednomiany:

\(\displaystyle{ Tx^n = nx^{n − 1}}\) (różniczkowanie)
\(\displaystyle{ S x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1}}\) (całkowanie ze stałą \(\displaystyle{ 0}\))

\(\displaystyle{ T S = Id,}\) ale \(\displaystyle{ ST}\) zeruje wielomiany stałe.

[matematix]

Dzięki za pomoc

[Ein]

W przestrzeniach liniowych skończenie wymiarowych zachodzi następujący fakt:

Niech \(\displaystyle{ T,S}\) będą operatorami liniowymi na przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej \(\displaystyle{ V}\). Wówczas: \(\displaystyle{ ST=I}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ TS=I}\).

Dowód jest bardzo prosty (korzystamy z faktu, że operator na przestrzeni liniowej skończenie wymiarowej jest injektywny wtedy i tylko wtedy, gdy jest surjektywny):

Załóżmy, że \(\displaystyle{ ST=I}\). Wynika z tego, że operator \(\displaystyle{ S}\) jest surjekcją. Ponieważ przestrzeń jest skończenie wymiarowa, więc \(\displaystyle{ S}\) musi być również injekcją. Jest zatem bijekcją, a więc istnieje operator \(\displaystyle{ S^{-1}}\) odwrotny do \(\displaystyle{ S}\). Mamy więc równość: \(\displaystyle{ ST=SS^{-1}=I}\), skąd \(\displaystyle{ ST-SS^{-1}=0}\). Niech \(\displaystyle{ x\in V}\). Wówczas \(\displaystyle{ (ST-SS^{-1})x=S(T-S^{-1})x=0}\), skąd na mocy bijektywności \(\displaystyle{ S}\) wynika, że \(\displaystyle{ (T-S^{-1})x=Tx-S^{-1}x=0}\), czyli \(\displaystyle{ Tx=S^{-1}x}\), a więc na mocy dowolności elementu \(\displaystyle{ x}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ T=S^{-1}}\). Czyli \(\displaystyle{ T}\) jest operatorem odwrotnym do \(\displaystyle{ S}\), skąd: \(\displaystyle{ TS=I}\).

Symetryczne rozumowanie dowodzi implikacji odwrotnej.


Powyższe twierdzenie jest nieprawdziwe w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych:

Niech np. \(\displaystyle{ V=\ell^\infty}\) będzie przestrzenią liniową ograniczonych ciągów o elementach rzeczywistych (z dodawaniem i mnożeniem przez skalary "po współrzędnych"). Rozważ operatory przesunięcia:

\(\displaystyle{ S,T:V\to V}\) dane wzorami:

\(\displaystyle{ S(x_0,x_1,x_2,\ldots)=(0,x_0,x_1,x_2,\ldots)}\)
\(\displaystyle{ T(x_0,x_1,x_2,\ldots)=(x_1,x_2,x_3,\ldots)}\)

Oczywiście zachodzi \(\displaystyle{ TS=I}\), ale nie zachodzi \(\displaystyle{ ST=I}\), bo \(\displaystyle{ ST(x_0,x_1,x_2,\ldots)=(0,x_1,x_2,\ldots)\neq(x_0,x_1,x_2\ldots)}\), gdy \(\displaystyle{ x_0\neq0}\).