\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&4&9&16\\4&9&16&25\\9&16&25&36\\16&25&36&49\end{vmatrix}}\)
Mam problem z taką macierzą, wiem że ma wyjść 0 ale jak do tego dojść, bo metodą la place to jakoś strasznie długo i się gubię ...
ciekawy wyznacznik macierzy
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
ciekawy wyznacznik macierzy
Sprowadź ją do postaci trójkątnej, metodą eliminacji, trochę rachunków, ale szybko idzie, trzy proste operacje - np. jedynką z pierwszej kolumny wyzerój 4, 9 i 16 w pierwszym wierszu, potem używając drugiej kolumny zeruj na prawo w drugim wierszu itd.
-
pawelekk
- Użytkownik
- Posty: 91
- Rejestracja: 18 sty 2006, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 21 razy
ciekawy wyznacznik macierzy
no to pierwsza macierz mi wyszła \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&0&0\\4&-7&-20&-39\\9&-20&-56&-108\\16&-39&-108&-207\end{vmatrix}}\) i co teraz ? bo jakieś duże ujemne lcizby mi wyszły, więc nie wiem czy to dobrze ;/ a jak wyzerować to dalej bo nie rozumiem ...-- 7 listopada 2011, 22:47 --bo wiem, że mogę sobie to teraz policzyć normalnie z metody Sarrusa, ale chciałbym wiedzieć jak to zrobic wałsnie przez te przekształcenia
-
fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
ciekawy wyznacznik macierzy
W tej macierzy są kwadraty kolejnych liczb naturalnych, korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ (n+1)^2-n^2=2n+1}\) a dalej różnica kolejnych liczb nieparzystych to \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&4&9&16\\3&5&7&9\\5&7&9&11\\7&9&11&13\end{vmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&4&9&16\\3&5&7&9\\2&2&2&2\\2&2&2&2\end{vmatrix}.}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&4&9&16\\3&5&7&9\\5&7&9&11\\7&9&11&13\end{vmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&4&9&16\\3&5&7&9\\2&2&2&2\\2&2&2&2\end{vmatrix}.}\)
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
ciekawy wyznacznik macierzy
Otrzymałeś wyznacznik
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&0&0\\4&-7&-20&-39\\9&-20&-56&-108\\16&-39&-108&-207\end{vmatrix}}\)
No i spróbujemy dokończyć tą metodą, o której pisałem. Najpierw drugą kolumnę mnożymy przez \(\displaystyle{ -\frac17}\) (pamiętamy o tym gdyby wyznacznik wyszedł różny od zera !) i dostajemy
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0&0\\
4 & 1 & -20&-39\\
9 &\frac{20}{7} & -56&-108\\
16&\frac{39}{7} &-108&-207\end{vmatrix}}\)
Teraz drugą kolumnę pomnożoną przez \(\displaystyle{ 20}\) dodajemy do trzeciej i przez \(\displaystyle{ 39}\) do czwartej i otrzymamy
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0&0\\
4 & 1 & 0&0\\
9 &\frac{20}{7} & \frac87&\frac{24}{7}\\
16&\frac{39}{7} &\frac{24}{7}&\frac{72}{7}\end{vmatrix}}\)
Trzecią kolumnę mnożymy przez \(\displaystyle{ \frac78}\) (pamiętamy o tym !) i mamy
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0&0\\
4 & 1 & 0&0\\
9 &\frac{20}{7} & 1 &\frac{24}{7}\\
16&\frac{39}{7} & 3&\frac{72}{7}\end{vmatrix}}\)
Wreszcie na koniec trzecią kolumnę pomnożoną przez \(\displaystyle{ -\frac{7}{24}}\) dodajemy do czwartej
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0&0\\
4 & 1 & 0&0\\
9 &\frac{20}{7} & 1 &0\\
16&\frac{39}{7} & 3&0\end{vmatrix}}\)
Oczywiście ten wyznacznik jest równy zeru, bo jest to macierz trójkątna, czyli jest to iloczyn liczb z głównej przekątnej, a ten wychodzi zero.
Metoda ta jest również skuteczna gdyby jednak iloczyn liczb na głównej przekątnej nie wyszedł równy zero, tylko jakaś liczba, powiedzmy \(\displaystyle{ m}\). Skoro wcześniej mnożyliśmy najpierw przez \(\displaystyle{ -\frac17}\), potem przez \(\displaystyle{ \frac78}\), to teraz liczbę \(\displaystyle{ m}\) wystarczy podzielić przez \(\displaystyle{ -\frac17\cdot\frac78}\) i wyjdzie wyznacznik wyjściowy.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&0&0\\4&-7&-20&-39\\9&-20&-56&-108\\16&-39&-108&-207\end{vmatrix}}\)
No i spróbujemy dokończyć tą metodą, o której pisałem. Najpierw drugą kolumnę mnożymy przez \(\displaystyle{ -\frac17}\) (pamiętamy o tym gdyby wyznacznik wyszedł różny od zera !) i dostajemy
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0&0\\
4 & 1 & -20&-39\\
9 &\frac{20}{7} & -56&-108\\
16&\frac{39}{7} &-108&-207\end{vmatrix}}\)
Teraz drugą kolumnę pomnożoną przez \(\displaystyle{ 20}\) dodajemy do trzeciej i przez \(\displaystyle{ 39}\) do czwartej i otrzymamy
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0&0\\
4 & 1 & 0&0\\
9 &\frac{20}{7} & \frac87&\frac{24}{7}\\
16&\frac{39}{7} &\frac{24}{7}&\frac{72}{7}\end{vmatrix}}\)
Trzecią kolumnę mnożymy przez \(\displaystyle{ \frac78}\) (pamiętamy o tym !) i mamy
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0&0\\
4 & 1 & 0&0\\
9 &\frac{20}{7} & 1 &\frac{24}{7}\\
16&\frac{39}{7} & 3&\frac{72}{7}\end{vmatrix}}\)
Wreszcie na koniec trzecią kolumnę pomnożoną przez \(\displaystyle{ -\frac{7}{24}}\) dodajemy do czwartej
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0&0\\
4 & 1 & 0&0\\
9 &\frac{20}{7} & 1 &0\\
16&\frac{39}{7} & 3&0\end{vmatrix}}\)
Oczywiście ten wyznacznik jest równy zeru, bo jest to macierz trójkątna, czyli jest to iloczyn liczb z głównej przekątnej, a ten wychodzi zero.
Metoda ta jest również skuteczna gdyby jednak iloczyn liczb na głównej przekątnej nie wyszedł równy zero, tylko jakaś liczba, powiedzmy \(\displaystyle{ m}\). Skoro wcześniej mnożyliśmy najpierw przez \(\displaystyle{ -\frac17}\), potem przez \(\displaystyle{ \frac78}\), to teraz liczbę \(\displaystyle{ m}\) wystarczy podzielić przez \(\displaystyle{ -\frac17\cdot\frac78}\) i wyjdzie wyznacznik wyjściowy.