równanie z macierzą do kwadratu

[kinga7]

Wykorzystując macierz odwrotną rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ X \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-1&0\end{array}\right]^{2}=\left[\begin{array}{ccc}10&3\\-4&-3\end{array}\right]-X}\)

Mam problem co zrobić z tą macierzą podniesioną do kwadratu? mogę sobie najpierw ją podnieść do kwadratu(pomnożyć macierz przez siebie) i dopiero potem szukać do niej macierzy odwrotnej?

[lukasz1804]

mogę sobie najpierw ją podnieść do kwadratu(pomnożyć macierz przez siebie) i dopiero potem szukać do niej macierzy odwrotnej?

Tak, można najpierw mnożyć macierz przez siebie a potem odwracać, albo najpierw odwrócić daną macierz a później dopiero mnożyć odwrotną przez siebie - wynik jest taki sam.

Spójrz jednak na postać równania. Musisz najpierw mieć niewiadome na jednej stronie, a później dopiero mnożyć przez macierz odwrotną do tej, która jest mnożona przez macierz niewiadomą.

[kinga7]

Nie bardzo wiem, jak to rozwiązać:

Gdy przeniosę X na lewą stronę to mam :

\(\displaystyle{ X \cdot \begin{bmatrix} 2&-1\\-1&0\end{bmatrix}^{2}+X=\begin{bmatrix} 10&3\\-4&-3\end{bmatrix}}\)

i co dalej? jak doprowadzić, żeby po jednej str był X(wyciągnąć go przed nawias chyba nie mogę)?

[lukasz1804]

Oczywiście, że możesz wyciągnąć poza nawias. Zostanie kwadrat widocznej tu macierzy plus macierz jednostkowa (której nie widać jawnie) - trzeba tę sumę obliczyć, a potem dopiero odwrócić.

[kinga7]

czyli:

\(\displaystyle{ X \cdot (\begin{bmatrix} 2&-1\\-1&0\end{bmatrix}^{2}+1)=\begin{bmatrix} 10&3\\-4&-3\end{bmatrix}}\)

i ta 1 z nawiasu równa się macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}}\)
jeśli tak, to dlaczego akurat tak?