Mam pewien dylemat jeśli chodzi o rozwiązywanie równań macierzowych. Przedstawię na przykładzie:
A, B,C - podane macierze kwadratowe
X - niewiadoma
\(\displaystyle{ A \cdot X \cdot B=C}\)
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, więc mnożąc lewostronnie przez macierz odwrotną \(\displaystyle{ A ^{-1}}\) lub \(\displaystyle{ B ^{-1}}\) otrzymam inny wynik. Poniżej rozpisałem jedną z możliwości - najpierw pozbywam się \(\displaystyle{ A}\) lewostronnie, potem \(\displaystyle{ B}\) prawostronnie:
\(\displaystyle{ A \cdot X \cdot B=C}\)
\(\displaystyle{ A^{-1} \cdot (A \cdot X \cdot B)= A^{-1} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ ( A^{-1} \cdot A) \cdot X \cdot B=A^{-1} \cdot C}\)
\(\displaystyle{ X \cdot (B \cdot B^{-1})=(A^{-1} \cdot C) \cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=(A^{-1} \cdot C) \cdot B^{-1}}\)
Tu pojawia się mój dylemat - jeśli można działać w ten sposób to niewiadoma \(\displaystyle{ X}\) będzie mieć osiem rozwiązań (pozbywam się niewiadomych lewostronnie, prawostronnie; lewostronnie, lewostronnie; prawostronnie, lewostronnie; prawostronnie, prawostronnie; i taki zestaw w dwóch przypadkach najpierw \(\displaystyle{ A}\) później \(\displaystyle{ B}\) i odwrotnie).
Czy powyższe rozumowanie jest prawidłowe? Jeśli nie proszę o wytłumaczenie mi tego w możliwie prosty sposób.
Pozdrawiam.
Równania macierzowe.
Równania macierzowe.
Ostatnio zmieniony 7 lis 2011, o 19:24 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
alfgordon
- Użytkownik
- Posty: 2176
- Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 379 razy
Równania macierzowe.
jest tylko taka możliwość nie możesz mnożyć macierzy przez macierz \(\displaystyle{ B}\) lewostronnie
\(\displaystyle{ A}\) -lewostronnie
\(\displaystyle{ B}\) -prawostronnie
\(\displaystyle{ A}\) -lewostronnie
\(\displaystyle{ B}\) -prawostronnie
Równania macierzowe.
\(\displaystyle{ A*X*B=C}\)
\(\displaystyle{ B^{-1}(A*X*B)= B^{-1}*C}\)
\(\displaystyle{ (B^{-1}*B)A*X= B^{-1}*C}\)
\(\displaystyle{ (A^{-1}*A)*X= A^{-1}*(B^{-1}*C)}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}*(B^{-1}*C)}\)
Więc coś takiego nie jest poprawne. Pomysł ten wziął mi się po przeanalizowaniu przykładu ze skryptu:
wersja 1:
\(\displaystyle{ A*X=B}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}*(AX)=A^{-1}*B}\)
\(\displaystyle{ (A^{-1}*A)*X=A^{-1}*B}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}*B}\)
wersja 2:
\(\displaystyle{ X*A=B}\)
\(\displaystyle{ (XA)*A^{-1}=B*A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X*(A^{-1}*A)=B*A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=B*A^{-1}}\)
W której autor otrzymał różne wyniki. Teraz widzę swój błąd o tu: \(\displaystyle{ A*X=B}\) i \(\displaystyle{ X*A=B}\). Diabeł tkwi w szczegółach. Dzięki za naprowadzenie.
\(\displaystyle{ B^{-1}(A*X*B)= B^{-1}*C}\)
\(\displaystyle{ (B^{-1}*B)A*X= B^{-1}*C}\)
\(\displaystyle{ (A^{-1}*A)*X= A^{-1}*(B^{-1}*C)}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}*(B^{-1}*C)}\)
Więc coś takiego nie jest poprawne. Pomysł ten wziął mi się po przeanalizowaniu przykładu ze skryptu:
wersja 1:
\(\displaystyle{ A*X=B}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}*(AX)=A^{-1}*B}\)
\(\displaystyle{ (A^{-1}*A)*X=A^{-1}*B}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}*B}\)
wersja 2:
\(\displaystyle{ X*A=B}\)
\(\displaystyle{ (XA)*A^{-1}=B*A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X*(A^{-1}*A)=B*A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=B*A^{-1}}\)
W której autor otrzymał różne wyniki. Teraz widzę swój błąd o tu: \(\displaystyle{ A*X=B}\) i \(\displaystyle{ X*A=B}\). Diabeł tkwi w szczegółach. Dzięki za naprowadzenie.