Jak szybko sprawdzić, czy dwie skończone grupy cykliczne są izomorficzne?
Już znam rozwiązanie Zamieszczam tutaj jakby komuś było potrzebne w przyszłości. (Pochodzi z Gleichgewichta 2002, str. 260, dowód Twierdzenia 13.3).
Tw. Grupy cykliczne skończone równych rzędów są izomorficzne. (Czyli odp.: wystarczy sprawdzić czy mają równe rzędy).
Dowód: Niech \(\displaystyle{ \langle a\rangle}\) będzie grupą cykliczną skończoną rzędu \(\displaystyle{ n}\). Wykażemy, że \(\displaystyle{ \langle a\rangle \simeq \mathbb{Z}_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n}}\) jest grupą addytywną reszt modulo n. Odwzorowanie \(\displaystyle{ \varphi: \mathbb{Z}_{n} \to \langle a \rangle}\) określamy następująco: \(\displaystyle{ \varphi (k) = a^{k}}\) dla \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}_{n}}\). Jest ono różnowartościowe, gdyż jeśli \(\displaystyle{ 0 \leqslant s < t < n}\) to \(\displaystyle{ a^{s} \neq a^{t}}\), a więc jest bijekcją. \(\displaystyle{ \varphi}\) jest izomorfizmem:
\(\displaystyle{ \varphi(p+_{n}q) = a^{p+_{n}q} = \begin{cases} a^{p+q}, \ gdy \ p+q<n\\a^{p+q-n}, \ gdy \ p+q \geqslant n\end{cases}}\)
Tak więc: \(\displaystyle{ \varphi(p+_{n}q) = a^{p+q} = a^{p}a^{q} = \varphi(p)\varphi(q)}\) dla \(\displaystyle{ p+q<n}\)
i: \(\displaystyle{ \varphi(p+_{n}q) = a^{p+q-n} = a^{p}a^{q}a^{-n} = a^{p}a^{q} = \varphi(p)\varphi(q)}\) dla \(\displaystyle{ p+q \geqslant n}\).
A więc ostatecznie: \(\displaystyle{ \ \varphi(p+_{n}q) = \varphi(p)\varphi(q)}\).
Pozdrawiam!