Równania macierzy

[Eldiane]

Witam, potrzebuję porady odnośnie kilku zadań, chodzi tylko o to jak się za to zabrać, przedstawię swój tok myślenia na rozwiązanie, i gdyby ktoś mógł wskazać gdzie mam błędy bo nie wychodzi tak jak w książce (być może robię błędy rachunkowe ale wolę się upewnić co do sposobu)

zad Wyznacz macierz X:

A)

\(\displaystyle{ \textbf{A}(\textbf{X}+\textbf{E})\textbf{B} = \textbf{E}}\)
chciałem rozwiązać to takim sposobem, wg mnie wątpliwym ale to jedyne co przyszło mi do głowy
\(\displaystyle{ \textbf{A}\cdot\textbf{B} = \textbf{C}}\)
\(\displaystyle{ \textbf{C}\cdot(\textbf{X}+\textbf{E}) = \textbf{E}}\)
\(\displaystyle{ \textbf{X}+\textbf{E} = \textbf{D}}\)
\(\displaystyle{ \textbf{C} \cdot \textbf{D} = \textbf{E}}\)
\(\displaystyle{ \textbf{D} = \textbf{C}^{-1} \cdot \textbf{E}}\)
\(\displaystyle{ \textbf{X}+\textbf{E} = \textbf{C}^{-1} \cdot \textbf{E}}\)

Czy ten sposób jest ok? i co zrobić aby po lewej stronie pozbyć sie macierzy E? trzeba ja odjąć po stronie prawej?

Może trochę za bardzo namieszałem, ale mam nadzieje że wiadomo o co chodzi, jeżeli ten sposób będzie dobry a coś będzie źle z obliczeniami, wtedy postaram się tutaj zamieścić wszystkie niejasności.

B)

\(\displaystyle{ \textbf{A} \cdot \textbf{X} = \textbf{E} \cdot \textbf{X} + \textbf{E}}\)

Teraz już kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, jeżeli zrobię to jako
\(\displaystyle{ \textbf{X} = \textbf{A}^{-1} \cdot \textbf{E} \cdot \textbf{X} + \textbf{E}}\)
to problematyczne staje się "wyciągnięcie" X z prawej strony równania

Ktoś mógłby poradzić?

Z góry dziękuje.
Eldiane

[joe74]

a)

A(X + B) = E

AXB + AEB = E

AXB = E - AEB

X = A(E - AEB)B

Nic nie zmieniaj w moim zapisie, kolejność mnożenia musi być zachowana. Wstawiając C = AB popełniłeś błąd, zakłócając kolejność mnożenia. Pamiętaj, że wynik mnożenia AXB nie jest równy wynikowi mnożenia ABX albo XAB.

b)

\(\displaystyle{ AX = EX + E}\)

\(\displaystyle{ AX - EX = E}\)

\(\displaystyle{ (A - E)X = E}\)

\(\displaystyle{ X = (A - E) ^{-1}E}\)

Nic nie zmieniaj w moim zapisie, kolejność mnożenia musi być zachowana.

[Eldiane]

Rozumiem, zaraz to wszystko postaram się ogarnąć w razie jakichkolwiek pytań napisze w tym temacie, szkoda robić śmieci na forum, zważając na to że to już chyba 3 temat odnośnie działania na macierzach mojego autorstwa...

[joe74]

Ale Twoje pytania i odpowiedzi na nie mogą być przydatne innym Choć wiekszość osób nie zagląda chyba w inne tematy, podobne do ich.

[Eldiane]

Wiem, ja sam nieraz zaglądam do innych tematów, a nóż może coś pomoże - jednak wiadomo że najlepiej napisać

Bardziej chodziło mi o to że jeśli już pisze o pomoc na temat macierzy, to nie zakładać kilku tematów, tylko wszystkie pytanie kierować do jednego tematu i go po prostu odświeżać, co sądzicie o takim rozwiązaniu? czy może lepiej pisać nowe tematy... ?

a)

A(X + B) = E

AXB + AEB = E

AXB = E - AEB

X = A(E - AEB)B

w pierwszej linijce chyba troszeczkę namieszałeś, zamiast macierzy B powinna być macierz E i to pomnożone razy macierz B, dobrze mówię? bo dalej się zgadza

//Edit
Jednak będę musiał zamieścić obliczenia, coś nie gra mi w przykładzie A
macierze podane w zadaniu wyglądają następująco:

\(\displaystyle{ \mathrm{A} = \begin{bmatrix} 3&4\\1&1\end{bmatrix} \mathrm{B} = \begin{bmatrix} -1&2\\3&5\end{bmatrix}}\)

Zabrałem się za to od wyliczenia nawiasu
E - AEB

\(\displaystyle{ \mathrm{AEB} = \begin{bmatrix} 3&4\\1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1&2\\3&5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&4\\1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1&2\\3&5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}9&26\\2&7\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \mathrm{E} - \begin{bmatrix}9&26\\2&7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}9&26\\2&7\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-8&-26\\-2&-6\end{bmatrix}}\)

Następnie wykonuje mnożenie
\(\displaystyle{ \mathrm{A} \cdot \begin{bmatrix}-8&-26\\-2&-6\end{bmatrix} \cdot \mathrm{B} = \begin{bmatrix}35&106\\11&33\end{bmatrix} \cdot \mathrm{B}}\)

Dalej darowałem sobie liczenie bo odpowiedz jest kompletnie inna, a mianowicie:
\(\displaystyle{ \mathrm{A} = \begin{bmatrix}6&2\\-4&2\end{bmatrix}}\)

Coś dziś w ogóle chyba nie mam formy...

//Edit
Przykład B) wychodzi elegancko