Dowód macierzy nieosobliwej

[dusiek]

Wykaż, że macierz \(\displaystyle{ A \in K^{n,n}}\) jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy macierz \(\displaystyle{ A^{T}}\) jest nieosobliwa.

[fon_nojman]

Skorzystaj z \(\displaystyle{ det(A)=det(A^T).}\)

[adner]

\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ A \in K^{n,n}}\) jest nieosobliwa, więc istnieje taka macierz \(\displaystyle{ A^{-1} \in K^{n,n}}\) że \(\displaystyle{ A A^{-1}=I_{n}}\). Wtedy \(\displaystyle{ (A A^{-1})^{T}=I_{n}^{T}=I_{n}}\), więc \(\displaystyle{ (A^{-1})^{T} A^{T}=I_{n}}\), więc \(\displaystyle{ A^{T}}\) jest nieosobliwa(jej macierzą odwrotną jest \(\displaystyle{ (A^{-1})^{T}}\)).

W drugą stronę analogicznie.

[dusiek]

dzięki wielkie