Norma macierzy

[Kylo55]

1) Dla danego ciała \(\displaystyle{ K}\), niech \(\displaystyle{ \left| \left| \cdot \right| \right|_{K^{n}}}\) oraz \(\displaystyle{ \left| \left| \cdot \right| \right|_{K^{m}}}\) będą pewnymi normami odpowiednio w \(\displaystyle{ K^{n}}\)
i w \(\displaystyle{ K^{m}}\) Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ \psi \left( A\right) = \sup \frac{\left| \left| A* \vec{x} \right| \right|_{K^{m}} }{\left| \left| \vec{x} \right| \right|_{K^{n}} }}\), \(\displaystyle{ A\in K^{m,n}}\)
definiuje normę w \(\displaystyle{ K^{m,n}}\).

2) Wykaż, że \(\displaystyle{ \left| \left| A\ast A^{T}\right| \right|_{2} = \left| \left| A^{T}\ast A\right| \right|_{2} = \left| \left| A\right| \right|^{2}_{2} = \left| \left| A^{T}\right| \right| ^{2}_{2}}\) dla macierzy rzeczywistej \(\displaystyle{ n \ \times \ n}\)