Parametr i niezależność liniowa

[bemekw]

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\) układ jest liniowo niezależny?
\(\displaystyle{ \vec{x_1} = \left[\begin{array}{c}1\\-1\\0\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{x_2} = \left[\begin{array}{c}1\\0\\-1\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{x_3} = \left[\begin{array}{c}0\\1\\a\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{x_4} = \left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\a\end{array}\right]}\)

Wyznaczam wyznacznik macierzy:
\(\displaystyle{ \det A = \left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\-1&0&1&0\\0&-1&a&1\\0&0&0&a\end{array}\right] = a \cdot (-1)^8 \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\-1&0&1\\0&-1&a\end{array}\right] = a \cdot [ (-1)^2 \cdot \left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&a\end{array}\right] + (-1)^3 \cdot \left[\begin{array}{cc}-1&1\\0&a\end{array}\right]] = a\cdot[1+[(-1)(-a-1)]] = a\cdot(1 +a +1) = a\cdot(a+2)}\)

Korzystam z tego, że układ jest liniowo niezależny, gdy wyznacznik jest różny od 0.

\(\displaystyle{ a \neq 0 \wedge a \neq -2}\)

Czy jest to zrobione poprawnie?

[Qń]

Uwaga techniczna: wyznacznik zapisuje się w nawiasach \(\displaystyle{ |A|}\).

Uwaga merytoryczna: źle policzyłeś wyznacznik drugiej macierzy dwa na dwa.

Ponadto: tu akurat prościej było zacząć od operacji elementarnych - najpierw dodać pierwszy wiersz do drugiego, a potem drugi do trzeciego. W ten sposób otrzymujemy macierz trójkątną, więc jej wyznacznik to iloczyn wyrazów na przekątnej.

Q.

[bemekw]

Dziękuję Panu, widzę gdzie błąd jest w wyznaczniku drugiej macierzy 2x2.

Próbowałem za pomocą operacji elementarnych uzyskać zera w wierszach/kolumnach dla laplece'a, a nie zauważyłem, jak prosto można doprowadzić to do macierzy trójkątnej.

Pozdrawiam.