Mam podprzestrzeń:
\(\displaystyle{ X = \{p \in P^4_K : p(0) = p(1)\}}\)
Z warunku wiem, ze dla wielomianu \(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + cx^2 + dx + e}\):
\(\displaystyle{ a + b + c + d + e = 0}\)
Wyznaczam sobie \(\displaystyle{ b = - a - c - d - e}\)
więc:
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - (a + c + d +e)x^3 + cx^2 + cx^2 + dx + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = a(x^4 - x^3) + c(-x^3 - x^2) + d(-x^3 + x) + e(-x^3 +1)}\)
Czyżby naszą bazą było: \(\displaystyle{ \{x^4 - x^3,-x^3-x^2, -x^3+x, -x^3+1\}}\)
Uklady są liniowo niezależne.
Czy dobrze to zrobiłem? Przyznam się, że bazy i przestrzenie mi jakoś niezbyt dobrze idą, więc proszę o wyrozumiałość.
Pozdrawiam.
Baza podprzestrzeni wielomianow
-
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 5 razy
Baza podprzestrzeni wielomianow
Możliwe, niestety czasami mam problemy z prostymi rachunkami (przeważnie gubie minusy). Prześledzę więc jeszcze raz:
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - (a + c + d +e)x^3 + cx^2 + dx + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - ax^3 - cx^3 - dx^3 - ex^3 + cx^2 + dx + e}\)
Grupuję:
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - ax^3 - cx^3 + cx^2 - dx^3 + dx - ex^3 + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = a(x^4 - x^3) + c(-x^3 + x^2) + d(-x^3 + x) + e(-x^3 + 1)}\)
Czyli baza:
\(\displaystyle{ \{x^4 - x^3,-x^3+x^2, -x^3+x, -x^3+1\}}\)
Czy to o tego typu błąd w rachunkach chodziło? Czy gdzieś mam lukę w rozumowaniu?
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - (a + c + d +e)x^3 + cx^2 + dx + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - ax^3 - cx^3 - dx^3 - ex^3 + cx^2 + dx + e}\)
Grupuję:
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - ax^3 - cx^3 + cx^2 - dx^3 + dx - ex^3 + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = a(x^4 - x^3) + c(-x^3 + x^2) + d(-x^3 + x) + e(-x^3 + 1)}\)
Czyli baza:
\(\displaystyle{ \{x^4 - x^3,-x^3+x^2, -x^3+x, -x^3+1\}}\)
Czy to o tego typu błąd w rachunkach chodziło? Czy gdzieś mam lukę w rozumowaniu?
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
Baza podprzestrzeni wielomianow
A to skąd się wzięło? Z definicji przestrzeni możesz wywnioskować jedynie, że:bemekw pisze:Mam podprzestrzeń:
\(\displaystyle{ X = \{p \in P^4_K : p(0) = p(1)\}}\)
Z warunku wiem, ze dla wielomianu \(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + cx^2 + dx + e}\):
\(\displaystyle{ a + b + c + d + e = 0}\)
\(\displaystyle{ a+b+c+d+e=e}\), czyli \(\displaystyle{ a+b+c+d=0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Baza podprzestrzeni wielomianow
Ogólna postać wielomianu z tej przestrzeni to \(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\). Więc warunkiem będzie \(\displaystyle{ a+b+c+d=0}\).bemekw pisze:Z warunku wiem, ze dla wielomianu \(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + cx^2 + dx + e}\):
\(\displaystyle{ a + b + c + d + e = 0}\)
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 5 razy
Baza podprzestrzeni wielomianow
A no fakt, przeciez \(\displaystyle{ e}\) to wyraz wolny.
Podsumowując:
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - (a + c + d)x^3 + cx^2 + dx + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - ax^3 - cx^3 - dx^3 + cx^2 + dx + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = a(x^4 - x^3) + c(-x^3 + x^2) + d(-x^3 + x) + e(1)}\)
Czyli baza: \(\displaystyle{ \{1, x^4 - x^3,-x^3 + x^2,-x^3 + x\}}\)
Podsumowując:
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - (a + c + d)x^3 + cx^2 + dx + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - ax^3 - cx^3 - dx^3 + cx^2 + dx + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = a(x^4 - x^3) + c(-x^3 + x^2) + d(-x^3 + x) + e(1)}\)
Czyli baza: \(\displaystyle{ \{1, x^4 - x^3,-x^3 + x^2,-x^3 + x\}}\)