Baza podprzestrzeni wielomianow

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
bemekw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 5 razy

Baza podprzestrzeni wielomianow

Post autor: bemekw »

Mam podprzestrzeń:
\(\displaystyle{ X = \{p \in P^4_K : p(0) = p(1)\}}\)

Z warunku wiem, ze dla wielomianu \(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + cx^2 + dx + e}\):
\(\displaystyle{ a + b + c + d + e = 0}\)
Wyznaczam sobie \(\displaystyle{ b = - a - c - d - e}\)
więc:
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - (a + c + d +e)x^3 + cx^2 + cx^2 + dx + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = a(x^4 - x^3) + c(-x^3 - x^2) + d(-x^3 + x) + e(-x^3 +1)}\)
Czyżby naszą bazą było: \(\displaystyle{ \{x^4 - x^3,-x^3-x^2, -x^3+x, -x^3+1\}}\)
Uklady są liniowo niezależne.
Czy dobrze to zrobiłem? Przyznam się, że bazy i przestrzenie mi jakoś niezbyt dobrze idą, więc proszę o wyrozumiałość.
Pozdrawiam.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Baza podprzestrzeni wielomianow

Post autor: »

Idea dobra, ale pomieszałeś mocno litery. Sprawdź rachunki jeszcze raz.

Q.
bemekw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 5 razy

Baza podprzestrzeni wielomianow

Post autor: bemekw »

Możliwe, niestety czasami mam problemy z prostymi rachunkami (przeważnie gubie minusy). Prześledzę więc jeszcze raz:
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - (a + c + d +e)x^3 + cx^2 + dx + e}\)

\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - ax^3 - cx^3 - dx^3 - ex^3 + cx^2 + dx + e}\)

Grupuję:
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - ax^3 - cx^3 + cx^2 - dx^3 + dx - ex^3 + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = a(x^4 - x^3) + c(-x^3 + x^2) + d(-x^3 + x) + e(-x^3 + 1)}\)

Czyli baza:
\(\displaystyle{ \{x^4 - x^3,-x^3+x^2, -x^3+x, -x^3+1\}}\)
Czy to o tego typu błąd w rachunkach chodziło? Czy gdzieś mam lukę w rozumowaniu?
Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Baza podprzestrzeni wielomianow

Post autor: Ein »

bemekw pisze:Mam podprzestrzeń:
\(\displaystyle{ X = \{p \in P^4_K : p(0) = p(1)\}}\)

Z warunku wiem, ze dla wielomianu \(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + cx^2 + dx + e}\):
\(\displaystyle{ a + b + c + d + e = 0}\)
A to skąd się wzięło? Z definicji przestrzeni możesz wywnioskować jedynie, że:
\(\displaystyle{ a+b+c+d+e=e}\), czyli \(\displaystyle{ a+b+c+d=0}\).
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Baza podprzestrzeni wielomianow

Post autor: »

bemekw pisze:Z warunku wiem, ze dla wielomianu \(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + cx^2 + dx + e}\):
\(\displaystyle{ a + b + c + d + e = 0}\)
Ogólna postać wielomianu z tej przestrzeni to \(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\). Więc warunkiem będzie \(\displaystyle{ a+b+c+d=0}\).

Q.
bemekw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 5 razy

Baza podprzestrzeni wielomianow

Post autor: bemekw »

A no fakt, przeciez \(\displaystyle{ e}\) to wyraz wolny.

Podsumowując:
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - (a + c + d)x^3 + cx^2 + dx + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = ax^4 - ax^3 - cx^3 - dx^3 + cx^2 + dx + e}\)
\(\displaystyle{ w(x) = a(x^4 - x^3) + c(-x^3 + x^2) + d(-x^3 + x) + e(1)}\)

Czyli baza: \(\displaystyle{ \{1, x^4 - x^3,-x^3 + x^2,-x^3 + x\}}\)
Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Baza podprzestrzeni wielomianow

Post autor: Ein »

Wygląda ok teraz.
bemekw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 5 razy

Baza podprzestrzeni wielomianow

Post autor: bemekw »

Ok, dziękuje za pomoc.
ODPOWIEDZ