Zadania z algebry (podgrupy, kalsy sprzężoności itp

[wasiu123]

Mam problem z paroma zadaniami z algebry, a mianowicie:

1. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiór:

\(\displaystyle{ x\in C: Re(iz)\leq3, \frac{z\overline{z}}{|z|}\leq6}\)

2. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ z^3=(-i)^4}\)

Wynik przedstawić w postaci algebraicznej

3. Niech \(\displaystyle{ H= A\in GL(n,R): detA=1}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą nornalną \(\displaystyle{ GL(n,R)}\)

4. Obliczyć liczbę klas sprzężoności w grupie \(\displaystyle{ S_5}\). Dla każdej z klas wypisać po jednym reprezentancie.

Z góry dziękuję.

[Lorek]

\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
1.
\(\displaystyle{ Re(zi)=Re[i(x+yi)]=Re(-y+xi)=-y\leq 3\Leftrightarrow y\geq 3}\)
2.
\(\displaystyle{ z\neq 0 \\z\overline{z}=|z|^2\\\frac{z\overline{z}}{|z|}=\frac{|z|^2}{|z|}=|z|\leq 6\\\sqrt{x^2+y^2}\leq 6\\x^2+y^2\leq 36\wedge z\neq 0}\)

[ Dodano: Wto Sty 23, 2007 4:51 pm ]
Zad. 2
\(\displaystyle{ z^3=(-i)^4\\z^3=1\\z^3-1=0\\(z-1)(z^2+z+1)=0}\)

[kuch2r]

Ad.3
\(\displaystyle{ H=\{A\in Gl(n,R):detA=1\}}\)
Na samym poczatku warto wykazac, ze H jest podgrupa grupy G.
\(\displaystyle{ \forall A,B \in H \quad A\cdot B\in H}\)
Sprawdzamy czy \(\displaystyle{ A\cdot B \in H}\)
Korzystajac z twierdzenie Cauchy'ego otrzymujemy, ze:
\(\displaystyle{ det(A\cdot B)=detA\cdot B=1\cdot 1=1 \Rightarrow A\cdot B\in H}\)
Nastepnie sprawdzamy:
\(\displaystyle{ \forall A\in H \quad A^{-1}\in H}\)
Sprawdzamy czy \(\displaystyle{ A^{-1}\in H}\)
\(\displaystyle{ det(A^{-1})=det^{-1}(A)=\frac{1}{detA}=1\in H}\)
Zatem H jest podgrupa grupy G.

Wiemy,ze jezli H jest podgrupa normalna grupy G to zachodzi nastepujacy warunek:
\(\displaystyle{ \forall A\in H \quad \forall B\in G \qquad B\cdot A \cdot B^{-1} \in H}\)
Sprawdzmy czy rzeczywiscie zachodzi:
Obliczmy:
\(\displaystyle{ det(B\cdot A \cdot B^{-1})=detB\cdot det A det(B^{-1})=detB\cdot det (B^{-1})=det(B\cdot B^{-1})=detI=1 \in H}\)
Stad:
Gupa H jest podgrupa normalna grupy G

[wasiu123]

naprawdę serdecznie dziękuję, probowałem, ale nie mogłem dojść do rozwiązania. Co do 4 to powinienem sobie poradzić, bo z tym akurat na świeżo . Jeszcze raz dziękuję.

Ed: Mam pytanie do zadania 1. Jak będzie wyglądał rysunek w układzie współżędnych? Będzie to okrąg o promieniu 6 i jak dobrze myślę to nie wszystko.

Ed2: Czy w zadaniu 2 to wszystko co należy wykonać, ponieważ w poleceniu jest jeszcze by wynik przedstawić w postaci algebraicznej. Rozawiązując równanie podstawiając za z=x+yi wychodzi mi że \(\displaystyle{ x=0 y=0 x=\frac{1}{2}i y=\frac{\sqrt{3}}{2}i}\)